Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распре­делений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения[22]. Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими. Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.04) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную теку­щую цену. Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнару­жили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изме­нений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределе­ние Стьюдента[23]. Для определения оптимального числа степеней свободы распре­деления Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5. Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона — 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дням (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День Бла­годарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполага­емому товару равен 0,10. Используя уравнения (5.01), (5.02) и (5.07) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедли­выми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая до­пускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем исполь­зовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения pg. Их можно по­лучить из фрагмента программы, написанной на языке Бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т.е. пере­менную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по сле­дующей формуле:

где i = цена, соответствующая текущему состоянию процесса суммиро­вания;

V = годовая волатильность, выраженная стандартным отклонением;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью;

1п() = функция натурального логарифма.

Уравнение (5.12), написанное на БЕЙСИКе, будет выглядеть следующим образом:

Переменная U представляет собой текущую цену базового инструмента (с учетом дивидендов, если это необходимо). Вероятность для распределения Стьюдента, найденная с помощью програм­мы из приложения В, является 2-хвостой. Нам надо сделать ее 1-хвостой и выра­зить как вероятность отклонения от текущей цены (то есть ограничить ее 0 и 0,5). Это можно сделать с помощью двух строк на БЕЙСИКе:

Таким образом, для 5 степеней свободы справедливая цена колл-опциона равна 3,842, а справедливая цена пут-опциона равна 2,562. Эти величины отличаются от значений, полученных с помощью более традиционных моделей. Причин здесь несколько.

Во-первых, более толстые хвосты распределения Стьюдента с 5 степенями свободы дадут более высокую справедливую стоимость колл-опциона. Вообще, чем толще хвосты распределения, тем больше получается цена колл-опциона. Если бы мы использовали 4 степени свободы, то получили бы еще большую цену колл-опциона.

Стоимость пут-опциона и стоимость колл-опциона значительно отличаются, в то время как в традиционных моделях стоимость пут-опциона и колл-опциона эквивалентна. Этот момент требует некоторого пояснения.

Справедливую стоимость пут-опциона можно найти из цены колл-опциона с той же ценой исполнения и датой истечения (или наоборот) по формуле пут-колл паритета:

где Р = справедливая цена пут-опциона;

С = справедливая цена колл-опциона;

Е = цена исполнения;

U = текущая цена базового инструмента;

R = безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью.

Когда равенство (5.13) не выполняется, появляется возможность арбитража. Из (5.13) мы видим, что цены, полученные из традиционных моделей, эквивалент­ны, когда Е - U = 0.

Давайте заменим переменную U в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базо­вого инструмента на дату истечения срока опциона. Ожидаемая стоимость ба­зового инструмента может быть определена с помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i. В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует. Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, — это вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы заменим значение U (текущую цену базового ин­струмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:

Р = 3,842 + (100 - 101,288467) * ЕХР(-0,05 * 33/260,8875) = 3,842+-1,288467 *ЕХР(-0,006324565186) = 3,842 + -1,288467 * 0,9936954 = 3,842 + 1,280343731 =2,561656269

Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из уравнения (5.11).

Остается одна проблема: если пут-опционы и колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно уравнению (5.11), тогда суще­ствует возможность арбитража. На самом деле LJ в (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 3,842, а пут-опцион с ценой ис­полнения, равной 100, стоит 2,561656269, то существует возможность арбитража, исходя из (5.13).

Отсутствие паритета «пут-колл» при наличии наших заново полученных цен опционов предполагает, что вместо покупки колл-опциона за 3,842 нам следует открыть эквивалентную позицию, купив пут-опцион за 2,562 и базо­вый инструмент.

Проблема решится, если мы сначала рассчитаем ожидаемую стоимость базо­вого инструмента по уравнению (5.10) с учетом того, что аi просто равно i (в нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента рав­на 101,288467), и вычтем текущую цену базового инструмента из полученного значения: 101,288467 - 100= 1,288467. Теперь, если мы вычтем это значение из каждого значения а., т.е. внутренней стоимости из (5.11), и примем любые по­лучившиеся значения менее 0 равными 0, тогда уравнение (5.11) даст нам теоре­тические значения, которые согласуются с (5.13). Таким образом, арифметичес­кое математическое ожидание по базовому инструменту заменит текущую цену базового инструмента. В нашем примере (распределение Стьюдента с 5 степе­нями свободы) мы получим стоимость пут-опциона и колл-опциона с ценой исполнения 100, равную 3,218. Таким образом, наш ответ согласуется с уравне­нием (5.13), и возможность арбитража между этими двумя опционами и их базо­выми инструментами отсутствует.

Когда мы используем распределение, которое основано на значениях ариф­метического математического ожидания базового инструмента на дату истече­ния и значение этого ожидания отличается от текущей стоимости базового ин­струмента, мы должны вычесть разность (ожидание - текущая стоимость) из внутренней стоимости опциона и приравнять нулю значения меньше нуля. Та­ким образом, для любой формы распределения уравнение (5.11) дает нам ариф­метическое математическое ожидание опциона на дату истечения, при условии, что арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту равно его текущей цене (то есть направленное движение цены базового инструмента не предполагается).

Одиночная длинная позиция по опциону и оптимальное f

Рассмотрим обычную покупку колл-опциона. Вместо того чтобы для нахождения оптимального f использовать полную историю сделок по опционам данной ры­ночной системы, мы рассмотрим все возможные изменения цены данного опци­она за время его существования и взвесим каждый результат вероятностью его осуществления. Этот взвешенный по вероятностям результат является HPR, со­ответствующим цене покупки опциона. Мы рассмотрим весь спектр результатов (т.е. среднее геометрическое) для каждого значения f и таким образом найдем оп­тимальное значение. Почти во всех моделях ценообразования опционов вводными переменными, имеющими наибольшее влияние на теоретическую цену опциона, являются: (а) вре­мя, оставшееся до истечения срока, (б) цена исполнения, (в) цена базового инстру­мента и (г) волатильность. Некоторые модели могут иметь и другие вводные данные, но именно эти четыре переменные больше всего влияют на теоретическое значение. Из этих переменных две — время, оставшееся до истечения срока, и цена базового инструмента — переменные величины. Волатильность тоже может изменяться, од­нако редко в той же степени, что цена базового инструмента или время до истечения срока. Цена исполнения не изменяется.