Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Уравнение (3.21) для расчета N используется два раза. Первый раз, когда мы нахо­дим N(H), второй, когда находим N(H - V * Т^(1/2)). Мы знаем, что V * Т ^ (1/2) = 0,0862581949, поэтому Н - V* Т ^ (1/2) = -0,4502688281 -

- 0,0862581949 = -0,536527023. Таким образом, мы должны использовать урав­нение (3.21) со следующими вводными значениями переменной Z:

-0,4502688281 и-0,536527023. Из уравнения (3.21) получим 0,3262583 и 0,2957971 соответственно (уравнение (3.21) описано в главе 3, поэтому мы не будем повторять его здесь). Отметьте, что сейчас мы получили коэффициент дельта, мгновенную скорость изменения цены опциона по отношению к изме­нению цены базового инструмента. Таким образом, дельта для этого опциона составляет 0,3262583. Теперь у нас есть все входные данные, необходимые для определения теоре­тической цены опциона. Подставив полученные значения в уравнение (5.01), получим:

Таким образом, в соответствии с моделью Блэка для фьючерсов справедливая сто­имость колл-опциона с ценой исполнения 600, сроком исполнения 15 сентября 1991 года, при цене базового инструмента на 1 августа 1991 года 575, при вола-тильности 25%, с учетом 252-дневного года и R = 0 составляет 10,1202625. Интересно отметить связь между опционами и базовыми инструментами, ис­пользуя вышеперечисленные модели ценообразования. Мы знаем, что 0 является наименьшей ценой опциона, но верхняя цена — это цена самого базового инстру­мента. Модели демонстрируют, что теоретическая справедливая цена опциона приближается к верхнему значению (стоимости базового инструмента U) при рос­те любой или всех трех переменных Т, R или V Это означает, что если мы, напри­мер, увеличим Т (время до срока истечения опциона) до бесконечно большого зна­чения, тогда цена опциона будет равна цене базового инструмента. В этой связи мы можем сказать, что все базовые инструменты в действительности эквивалентны опционам с бесконечным Т. Таким образом, все сказанное верно не только для опци­онов, но и для базовых инструментов, как будто они являются опционами с беско­нечным Т. Модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и модель опционов на фьючерсы Блэка построены на определенных допущениях. Разработчики этих моделей ис­ходили из трех утверждений. Несмотря на недостатки этих утверждений, предло­женные модели все-таки довольно точны, и цены опционов будут стремиться к значениям, полученным из моделей. Первое из этих утверждений состоит в том, что опцион не может быть испол­нен до истечения срока. Это приводит к недооценке опционов американского типа, которые могут исполняться до истечения срока. Второе утверждение предполагает, что мы знаем будущую волатильность базового инструмента, и она будет оставаться постоянной в течение срока действия опциона. На самом деле это не так (т.е. волатильность изменится). Кроме того, распределение изме­нений волатильности логарифмически нормально, и эту проблему модели не учитывают[21]. Еще одно допущение модели состоит в том, что безрисковая процентная ставка остается постоянной в течение времени действия опциона. Это также не обязательно. Более того, краткосрочные ставки логарифмически нор­мально распределены. То обстоятельство, что, чем выше краткосрочные ставки, тем выше будут цены опционов, и утверждение относительно неизменности краткосрочных ставок может привести к еще большей недооценке опциона по отношению к ожидаемой цене (его правильному арифметическому математи­ческому ожиданию). Еще одно утверждение (возможно наиболее важное), которое может привести к недооценке стоимости опциона, рассчитанной с помощью модели, по отноше­нию к действительно ожидаемой стоимости, состоит в том, что логарифмы изме­нений цены распределяются нормально. Если бы опционы характеризовались не числом дней до даты истечения срока, а числом тиков вверх или вниз до истече­ния, а цена за один раз могла бы изменяться только на 1 тик и он был бы статисти­чески независим от предыдущего тика, то мы могли бы допустить существование нормального распределения. В нашем случае логарифмы изменений цены не имеют таких характеристик. Тем не менее теоретические справедливые цены, полученные с помощью моделей, используются профессионалами на рынке. Даже если некоторые трейдеры применяют модели, которые отличаются от показанных здесь, большинство из них дадут похожие теоретические справедливые цены. Ког­да реальные цены расходятся с теоретическими до такой степени, что спеку­лянты могут получить прибыль, цены начинают снова сходиться к так назы­ваемой «теоретической справедливой цене». Тот факт, что мы можем спрог-нозировать с достаточной степенью точности, какой будет цена опциона при наличии различных входных данных (время истечения, цена базового инст­румента и т.д.), позволяет нам произвести расчеты оптимального f и его по­бочных продуктов по опционам и смешанным позициям. Читатель должен помнить, что все эти методы основаны на утверждениях, которые только что были изложены.

Модель ценообразования европейских опционов для всех распределений

Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены.

Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», отно­сящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истече­ния, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание воз­можного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.03):

где рi = вероятность выигрыша или проигрыша попытки i;

ai= выигранная или проигранная сумма попытки i;

N =количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого воз­можного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигры­ша. Когда сумма вероятностей рi больше 1, уравнение 1.03 необходимо разделить на сумму вероятностей рi.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание.

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опци­она, или арифметическое математическое ожидание;

рi = вероятность цены i по истечении срока опциона;

аi = внутренняя стоимость опциона (для кол-опциона: рыноч­ная цена инструмента минус цена исполнения опциона;

для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в зна­менателе до тех пор, пока вероятность i-ой цены (т.е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне доста­точно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в зна­менателе, пока вероятность i-ой цены (т.е. рi) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, т.е., если веро­ятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1. Интересно отметить, что значения вероятности рi можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно не обязательно должно быть нормальным, то есть пользователь может получить теоретическую справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возмож­ность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распреде­ление Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое рас­пределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при опреде­лении справедливой стоимости опционов.

Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифмети­ческое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следую­щую величину:

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожида­ния при данном значении Т;

pi = вероятность цены i по истечении срока опциона;

аi =внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инст­рументу при цене i;

R = текущая безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью.

Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распре­делений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения[22]. Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими. Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.04) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную теку­щую цену. Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнару­жили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изме­нений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределе­ние Стьюдента[23]. Для определения оптимального числа степеней свободы распре­деления Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5. Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона — 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дням (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День Бла­годарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполага­емому товару равен 0,10. Используя уравнения (5.01), (5.02) и (5.07) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедли­выми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая до­пускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем исполь­зовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения pg. Их можно по­лучить из фрагмента программы, написанной на языке Бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т.е. пере­менную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по сле­дующей формуле: