Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Значение f, которое в результате даст наибольшее среднее геометрическое, явля­ется оптимальным.

Мы можем оптимизировать f, определив оптимальную дату выхода. Другими словами, мы можем найти значение оптимального f для данного опциона на каж­дый день между текущим днем и днем истечения. Запишем оптимальные f и сред­ние геометрические для каждой указанной даты выхода. Когда мы завершим эту процедуру, мы сможем найти ту дату выхода, которая даст наивысшее среднее гео­метрическое. Таким образом, мы получим день, когда должны выйти из позиции по опциону для того, чтобы математическое ожидание было наивысшим (т.е. среднее геометрическое было наивысшим). Мы также узнаем, какое оптимальное количество контрактов следует купить.

Теперь у нас есть математический метод, с помощью которого можно выхо­дить из позиции по опциону и покупать опцион при положительном математи­ческом ожидании. Если мы выйдем из позиции в день, когда среднее геометри­ческое максимально и оно больше 1,0, то следует покупать число контрактов, исходя из оптимального f, которое соответствует наивысшему среднему геомет­рическому. Математическое ожидание, о котором мы говорим, — это геометри­ческое ожидание. Другими словами, среднее геометрическое (минус 1,0) являет­ся математическим ожиданием, когда вы реинвестируете прибыли (арифмети­ческое положительное математическое ожидание будет, конечно же, выше, чем геометрическое).

После того как вы найдете оптимальное f для данного опциона, можно преобра­зовать полученное значение в число контрактов, которое следует покупать:

(5.19) K=INT(E/(S/f)),

где К = оптимальное число опционных контрактов для покупки;

f= значение оптимального Г(от 0 до 1);

S = текущая цена опциона;

Е = общий баланс счета;

1NT() = функция целой части.

Для расчета TWR следует знать, сколько раз мы хотели бы воспроизвести эту же сделку в будущем. Другими словами, если наше среднее геометрическое составля­ет 1,001 и необходимо найти TWR, которое соответствует этой же игре 100 раз подряд, то TWR будет 1,001^100 = 1,105115698. Поэтому можно ожидать за­работка в 10,5115698%, если провести эту сделку 100 раз. Формула для преобразо­вания среднего геометрического в TWR задается уравнением (4.18):

(4.18) TWR = Среднее геометрическое ^ X,

где TWR = относительный конечный капитал;

Х = число раз, которое мы «повторяем» эту игру.

Мы можем определить и другие побочные продукты, например, геометрическое математическое ожидание (среднее геометрическое минус 1). Если мы возьмем наибольший возможный проигрыш (стоимость самого опциона), разделим его на оптимальное f и умножим на геометрическое математическое ожидание, то полу­чим среднюю геометрическую сделку. Как вы уже заметили, при использовании метода оптимального f в торговле опционами появляется еще один побочный продукт — оптимальная дата выхода. Мы рассматривали позиции по опционам при отсутствии направленного движения цены базового инструмента. Для указанной даты выхода точки, сме­щенные на 3 стандартных отклонения выше и ниже, рассчитываются из теку­щей цены, таким образом, мы ничего не знаем о будущем направлении цены базового инструмента. В соответствии с математическими моделями ценообразования мы не получим положительное арифметическое математическое ожи­дание, если будем удерживать позицию по опциону до срока истечения. Одна­ко, как мы уже видели, можно достичь положительного геометрического мате­матического ожидания, если закрыть позицию в определенный день до срока истечения.

Если вы предполагаете определенное изменение цены базового инструмен­та, его можно учесть. Допустим, мы рассматриваем опционы на базовый инст­румент, который в настоящее время стоит 100. Далее предположим, что на ос­нове анализа рынка выявлен тренд, который предполагает цену 105 к дате исте­чения, и эта дата отстоит на 40 рыночных дней от сегодняшней даты. Мы ожидаем, что цена повысится на 5 пунктов за 40 дней. Если исходить из линей­ного изменения цены, то цена должна расти в среднем на 0,125 пунктов в день. Поэтому для завтрашнего дня (как дня выхода) мы возьмем значение U, равное 100,125. Для следующей даты выхода возьмем U, равное 100,25. К тому време­ни, когда указанная дата выхода станет датой истечения срока опциона, U бу­дет равно 105. Если базовым инструментом является акция, то вы должны вы­честь дивиденды из U, воспользовавшись уравнением (5.04). Тренд можно учи­тывать, если изменять каждый день значение U, исходя из сделанного прогноза. Так как уравнения (5.17а) и (5.176) изменятся, значения U повлияют на оптимальные f и побочные продукты. Отметьте, что в уравнениях (5.17а) и (5.176) используются новые значения U, т.е. происходит автоматическое при­ведение данных, следовательно, полученные оптимальные f будут основаны на данных, приведенных к текущей цене.

Когда вы будете использовать вышеописанную технику работы с оптималь­ным f, то заметите, что его значение каждый день меняется. Предположим, сегод­ня вы купили опцион и рассчитали оптимальную дату выхода. Послезавтра цена опциона может измениться, и если вы опять проведете процедуру расчета опти­мального f, то также можете получить положительное математическое ожидание, но уже. другую дату выхода. Что это означает?

Ситуация аналогична лошадиным бегам, где можно делать ставки после нача­ла скачки и до их завершения. Шансы постоянно меняются, и вы в любой момент можете обменять купленный билет на деньги. Скажем, до начала скачек вы стави­те 2 доллара на определенную лошадь, основываясь на положительном математи­ческом ожидании, и лошадь после первого крута прибегает предпоследней. Пред­положим, ваш билет, купленный за 2 доллара, стоит теперь только 1,50 доллара. Вы по-прежнему считаете, что математическое ожидание в пользу вашей лошади, исходя из результатов прошлых скачек и нынешних шансов. Вы решаете, что те­кущая цена билета в 1,50 доллара на 10% занижена. Можно получить деньги по билету, купленному до начала скачек за 2 доллара (сейчас он стоит 1,50 доллара), и можно также купить билет за 1,50 доллара, чтобы сделать еще одну ставку. Таким образом, вы получаете положительное математическое ожидание, но на основе билета за 1,50 доллара, а не за 2 доллара. Та же аналогия применима и к опционам, позиция по которым в настоящий мо­мент немного убыточна, но имеет положительное математическое ожидание на ос­нове новой цены. Вы должны использовать другое оптимальное f для новой цены, регулируя текущую позицию (если это необходимо), и закрывать ее, исходя из но­вой оптимальной даты выхода. Таким образом, вы используете последнюю цено­вую информацию о базовом инструменте, что иногда может заставить вас удержи­вать позицию до истечения срока опциона. Возможность получения положительного математического ожидания при ра­боте с опционами, которые теоретически справедливо оценены, сначала может показаться парадоксом или просто шарлатанством. Мы знаем, что теоретические цены опционов, найденные с помощью моделей, не позволяют получить положительное математическое ожидание (арифметичес­кое) ни покупателю, ни продавцу. Модели теоретически справедливы с поправкой «если удерживаются до истечения срока». Именно эта отсутствующая поправка по­зволяет опциону быть справедливо оцененным согласно моделям и все-таки иметь положительное ожидание. Помните, что цена опциона уменьшается со скоростью квадратного корня времени, оставшегося до истечения срока. Таким образом, после первого дня по­купки опциона его премия должна упасть в меньшей степени, чем в последующие дни. Рассмотрим уравнения (5.17а) и (5.176) для цен, соответствующих смеще­нию на 4- Х и - Х стандартных величин по истечении времени Т. Окно цен каждый день расширяется, но все медленнее и медленнее, в первый день скорость расши­рения максимальна. Таким образом, в первый день падение премии по опциону будет минималь­ным, а окно Х стандартных отклонений будет расширяться быстрее всего. Чем меньше времени пройдет, тем с большей вероятностью мы будем иметь положи­тельное ожидание по длинной позиции опциона, и чем шире окно Х стандартных отклонений, тем вероятнее, что мы будем иметь положительное ожидание, так как убыток ограничен ценой опциона, а возможная прибыль не ограничена. Между окном Х стандартных отклонений, которое с каждым днем становится все шире и шире (хотя со все более медленной скоростью), и премией опциона (паде­ние которой с каждым днем происходит все быстрее и быстрее) происходит «пе­ретягивание каната».

В первый день математическое ожидание максимально, хотя оно может и не быть положительным. Другими словами, математическое ожидание (арифмети­ческое и геометрическое) самое большое после того, как вы продержали опцион 1 день (оно в действительности самое большое в тот момент, когда вы приобретаете опцион, и далее постепенно понижается, но мы рассматриваем дискретные вели­чины). Каждый последующий день ожидание понижается, но все медленнее и медленнее. Следующая таблица иллюстрирует понижение ожидания по длинной позиции опциона. Этот пример уже упоминался в данной главе. Колл-опцион имеет цену исполнения 100, базовый инструмент стоит также 100; дата истечения — 911220. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы используем фор­мулу товарных опционов Блэка (Н определяется из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Возьмем 8 стандартных отклонений для расчета оптималь­ного f, а минимальный шаг тика примем равным 0,1.