Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

100 /1,9=52,63.

Если вычесть значение Y в выражении Z(T, U - Y), являющемся элементом уравнения (5.14), мы получим математическое ожидание по базовому инструменту, равное его текущему значению, и поэтому f не будет оптимальным. Тем не менее нам следует вычесть значение Y в Z(T, U - Y) для того, чтобы соответствовать расче­там цен опционов, а также формуле «пут-колл» паритета. Если мы будем использовать уравнение (3.30) вместо уравнения (5.14), тогда из каждого значения U в (5.21а) и (5.216) следует вычесть значение Y, то есть надо вычесть Y из каждого P&L, что опять же создает ситуацию, когда нет положительного математического ожидания, и поэтому нет оптимального значения f. Все вышесказанное означает, что если мы откроем позицию по базовому инстру­менту, не имея никаких представлений о направлении движения его цены, то не по­лучим положительного математического ожидания (как происходит с некоторыми опционами) и поэтому не найдем оптимального f. Мы можем получить оптимальное f только в том случае, когда математическое ожидание положительное. Это произой­дет, если базовый инструмент «в тренде».

Теперь у нас есть методология, позволяющая определить оптимальное f (и его побочные продукты) для опционов и базового инструмента (разными способами). Отметьте, что используемые в этой главе методы определения оптимальных f и побочных продуктов для опционов или базового инструмента не требуют обязательного применения механической системы. Вспомним, что эмпири­ческий метод поиска оптимального f основан на эмпирическом потоке P&L, созданном механической системой. Из главы 3 мы узнали о параметрическом методе поиска оптимального f на основе данных, которые имеют нормальное распределение. Тот же метод можно использовать для поиска оптимального f при любом распределении данных, если существует функция распределения. Из главы 4 мы познакомились с параметрическим методом поиска оптималь­ного f для распределений торговых P&L, которые не имеют функций распреде­ления (для механической или немеханической системы) и с методом планиро­вания сценария.

В этой главе мы изучили метод поиска оптимального f для немеханических систем. Обратите внимание, все расчеты допускают, что вы в некоторый мо­мент времени «слепо» открываете позицию, причем направленного движе­ния цены базового инструмента не ожидается. Таким образом, предложен­ный метод лишен какого-либо прогноза относительно цены базового инстру­мента. Мы увидели, что можно учесть ценовой прогноз, изменяя каждый день значение базового инструмента в уравнениях 5.17а и 5.176. Даже слабый тренд значительно меняет функцию ожидания. Оптимальная дата выхода мо­жет не быть теперь рыночным днем сразу после дня входа, более того, опти­мальная дата выхода может стать датой истечения срока. В таком случае оп­цион будет иметь положительное математическое ожидание, даже если его держать до даты истечения. При небольшом тренде цены базового инстру­мента значительно изменится не только функция ожидания, но и оптималь­ные f, AHPR и GHPR.

Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Пусть цена ис­полнения колл-опциона равна 100 и он истекает 911120, цена базового инстру­мента равна также 100. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы будем использовать формулу товарных опционов Блэка (Н нахо­дим из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Для 8 стандартных отклонений рассчитаем оптимальные f (чтобы соответствовать прошлым таб­лицам, которые не учитывают тренд по базовому инструменту), и используем минимальное приращение тика 0,1. В данном случае мы будем учитывать тренд, при котором цена базового инструмента растет на 0,01 пункта (одну де­сятую тика) в день:

Дата выхода AHPR GHPR f Вторник 911105 1,000744 1,000357 0,1081663 Среда 911106 1,000149 1,000077 0,0377557 Четверг 911107 1,000003 1,000003 0,0040674 Пятница 911108 <1 <1 0

Отметьте, как небольшой тренд (0,01 пункта в день) меняет результаты. Наша оптимальная дата выхода остается 911105, но оптимальное f= 0,1081663, что соответствует 1 контракту на каждые 2645 долларов на балансе счета (2,861* * 100 / 0,1081663). Кроме того, для этого опциона ожидание положительно все время до 911107. Если тренд будет сильнее, результаты изменятся еще больше. Последнее, что необходимо учесть, — это размер комиссионных. Цена опцио­на из уравнения (5.14) (значение переменной Z(T, U - Y)) должна быть уменьшена на размер комиссионных (если с вас берут комиссионные и при открытии по­зиции, то вы должны увеличить значение переменной S из уравнения (5.14) на размер комиссионных).

Мы рассмотрели поиск оптимального f и его побочных продуктов, когда меха­ническая система не используется. Теперь перейдем к изучению одновременной торговли по нескольким позициям.

Торговля по нескольким позициям при наличии причинной связи

Прежде чем начать обсуждение одновременной торговли по нескольким по­зициям, необходимо пояснить разницу между причинными связями и корре­ляционными связями. В случае с причинной связью существует фактическое, связующее объяснение корреляции между двумя или более событиями, т. е. причинная связь — это такое отношение, где есть корреляция, и ее можно объяснить логически. Обычная корреляционная связь подразумевает, что есть зависимость, но этому нет причинного объяснения. В качестве примера при­чинной связи давайте рассмотрим пут-опционы и колл-опционы на акции IBM. Очевидно, что корреляция между пут и колл-опционами IBM составля­ет -1 (или находится очень близко к этому значению), но эта связь означает больше, чем просто корреляция. Мы знаем, что, когда по колл-опционам IBM возникает давление вверх, появляется давление и вниз по пут-опционам (все остальное считается постоянным, включая волатильность). Описанное логическое связующее отношение означает, что между пут и колл-опционами IBM существует причинная связь.

Когда существует корреляция, но нет причины, мы просто говорим, что есть корреляционная связь (в противоположность причинной связи). Обычно при корреляционной связи коэффициент корреляции (по абсолютной вели­чине) меньше 1, как правило, абсолютное значение коэффициента корреля­ции ближе к 0. Например, цены на кукурузу и соевые бобы в большинстве слу­чаев движутся параллельно. Хотя их коэффициенты корреляции не равны точ­но 1, существует причинная связь, так как оба рынка реагируют на события, которые затрагивают зерновые. Если мы рассматриваем колл-опционы IBM и пут-опционы компании Digital Equipment (или колл-опционы), мы не можем сказать, что между ними существует четкая причинная связь. Что-то от при­чинной связи в этом случае безусловно есть, так как оба вида базового инстру­мента (акции) входят в компьютерную группу, но только потому, что цена IBM растет (или падает), акции Digital Equipment не обязательно должны расти или падать. Как видите, нет четкой грани, которая разделяет причинные и корре­ляционные связи.

Невозможность четкого определения вида связи создает некоторые пробле­мы в работе. Сначала мы рассмотрим только причинные связи, или те, которые, как мы полагаем, являются причинными. В следующей главе мы обсудим корреляционные связи, которые включают также и причинные связи. Вы должны понимать, что методы, упомянутые в следующей главе в отношении корреляци­онных связей, применимы и для причинных связей. Обратное не всегда верно. Применение методов, используемых для причинных связей, в случае, когда свя­зи просто корреляционны, является ошибкой. Причинная связь подразумевает, что коэффициенты корреляции между ценами двух объектов составляют 1 или -1. Для упрощения будем считать, что причинная связь затрагивает два инстру­мента (акция, товар, опцион и т.д.), имеющих один базовый инструмент. Это могут быть спрэды, стредлы, «покрытая продажа» или любая другая позиция, когда вы используете базовый инструмент совместно с одним или более опцио­нами или один или несколько опционов по одному базовому инструменту, даже если у вас нет позиции по этому базовому инструменту.

Простейшим примером одновременных позиций является комбинация оп­ционов (т.е. позиция по базовому инструменту отсутствует), когда совокупная позиция заносится в дебет и можно использовать уравнение (5.14). Таким обра­зом, вы можете определить оптимальное f для всей позиции, а также побочные продукты (включая оптимальную дату выхода). В этом случае переменная S вы­ражает общие затраты на сделку, а переменная Z(T, U - Y) выражает «общую» цену всех одновременных позиций при цене базового инструмента U, когда вре­мя, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Когда совокупная по­зиция заносится в кредит, можно определить оптимальное f с помощью уравне­ния (5.20). Как и в предыдущем случае, мы должны изменить переменные S и Z(T, U - Y) для отражения «чистой» цены всех позиций. Например, мы рассмат­риваем возможность открытия длинного стредла (покупка пут-опциона и колл-опциона по одному базовому инструменту с одинаковой ценой исполнения и датой истечения). Допустим, что полученное с помощью этого метода опти­мальное f соответствует 1 контракту на каждые 2000 долларов. Таким образом, на каждые 2000 долларов на счете мы должны покупать 1 стредл (1 пут-опцион и 1 колл-опцион). Оптимальное f, полученное с помощью данного метода, отно­сится к финансированию 1 единицы для всей позиции. Этот факт касается всех методов, рассмотренных в данной главе. Ниже представлено уравнение для одновременных позиций, причем не имеет значения, используется позиция по базовому инструменту или нет. Мы будем применять эту обобщенную форму для одновременных позиций с причинной связью: