Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если вы используете годо­вые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если вы используете дневные данные для определения ожидаемых прибьыей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расче­ты на дневной основе), тогда вам следует использовать дневные данные для опре­деления коэффициентов корреляции. Вернемся к нашим четырем инвестициям — Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Присвоим им символы Т, 1, L и S соответственно. Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции:

I L S Т -0,15 0,05 о I 0,25 о L о

На основе полученных параметров мы можем рассчитать ковариацию между дву­мя ценными бумагами:

Стандартные отклонения Sa и Sб можно найти, взяв квадратный корень диспер­сии ожидаемых прибылей для ценных бумаг а и б. Вернемся к нашему примеру. Мы можем определить ковариацию между Toxico (Т) и Incubeast (I) следующим образом:

Зная ковариацию и стандартные отклонения, мы можем рассчитать коэффици­ент линейной корреляции:

Отметьте, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1:

Теперь можно создать таблицу ковариаций для нашего примера с четырьмя инве­стиционными альтернативами:

Т I L S Т 0,1 - 0,0237 0,01 0 I - 0,0237 0,25 0,079 0 L 0,01 0,079 0,4 0 S 0 0 0 0

Мы собрали необходимую параметрическую информацию и теперь попытаемся сформулировать основную проблему. Во-первых, сумма весов ценных бумаг, со­ставляющих портфель, должна быть равна 1, так как операции ведутся на денеж­ном счете, и каждая ценная бумага полностью оплачена:

где N == число ценных бумаг, составляющих портфель;

Х = процентный вес ценной бумаги L

Важно отметить, что в уравнении (6.04) каждое значение Х должно быть неотрица­тельным числом.

Следующее равенство относится к ожидаемой прибыли всего портфеля — это Е в теории Е — V. Ожидаемая прибыль портфеля является суммой прибылей его компонентов, умноженных на соответствующие веса:

где Е = ожидаемая прибыль портфеля;

N = число ценных бумаг, составляющих портфель;

Xi = процентный вес ценной бумаги i;

Ui= ожидаемая прибыль ценной бумаги i. И наконец, мы подошли к параметру V, т. е дисперсии ожидаемых прибылей:

Нашей целью является поиск значений Х (причем их сумма равна единице), ко­торые дают наименьшее значение V для определенного значения Е. Максимизи­ровать (или минимизировать) функцию Н(Х, Y) при наличии условия или огра­ничения G(X, Y) можно с помощью метода Лагранжа. Для этого зададим функцию Лагранжа F(X, Y, L):

(6.07) F(X,Y,L) = H(X,Y) + L * G(X,Y)

Обратите внимание на форму уравнения (6.07). Новая функция F(X,Y,L) равна множителю Лагранжа L (его значение мы пока не знаем), умноженному на огра­ничительную функцию G(X,Y), плюс первоначальная функция H(X,Y), экстре­мум которой мы и хотим найти.

Решение этой системы из трех уравнений даст точки (X1Y1) относительного экстремума:

FxX,Y,L) = О Fy(X,Y,L) = О FL(X,Y,L) = О

Допустим, мы хотим максимизировать произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 20. Пусть Х и Y два числа. Таким образом, H(X,Y) = Х * Y является функцией, которая должна быть максимизирована при нали­чии ограничительной функции G(X,Y) = Х + Y - 20 = 0. Зададим функцию Лагранжа:

F(X,Y,L) = Х * Y + L * (X + Y- 20) Fx(X,Y,L)=Y+L Fy(X,Y,L)=X+L FL(X,Y,L)=

X +Y-20

Теперь приравняем F^(X,Y,L) и Fy(X,Y,L) нулю и решим каждое из них для полу­чения L:

Y+L=0 Y=-L и

X+L=0 X=-L

Теперь, приняв FL(X,Y,L) = 0, мы получим Х + Y - 20 = 0. Наконец, заме­ним Х и Y эквивалентными выражениями, содержащими L:

(-L) + (-L) - 20 = О 2 * -L - 20 L=-10

Так как Y = -L, то Y = 10 и Х = 10. Максимальное произведение: 10*10= 100.

Метод множителей Лагранжа был продемонстрирован для двух переменных и одной 01раничительной функции. Метод можно также применять, когда есть бо­лее чем две переменные и более чем одна ограничительная функция. Далее для примера следует форма для поиска экстремума, когда есть три переменные и две ограничительные функции:

В этом случае, чтобы определить точки относительных экстремумов, вам надо ре­шить систему из пяти уравнений с пятью неизвестными. Позже мы покажем, как это сделать.

Сформулируем проблему несколько иначе: необходимо минимизировать V, т.е. дисперсию всего портфеля, с учетом двух следующих ограничений:

где N= число ценных бумаг, составляющих портфель;

Е = ожидаемая прибыль портфеля;

Х = процентный вес ценной бумаги i;

U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i.

Минимизация ограниченной функции многих переменных может быть проведе­на путем введения множителей Лагранжа и частного дифференцирования по каждой переменной. Поэтому мы сформулируем поставленную задачу в терминах функции Лагранжа, которую назовем Т:

где V= дисперсия ожидаемых прибылей портфеля из уравнения (6.06);

N = число ценных бумаг, составляющих портфель;

Е = ожидаемая прибыль портфеля;

X. = процентный вес ценной бумаги i;

U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i;

L, = первый множитель Лагранжа;

L = второй множитель Лагранжа.

Мы получим портфель с минимальной дисперсией (т.е. минимальным риском), приравняв к нулю частные производные функции Т по всем переменньм.

Давайте снова вернемся к нашим четырем инвестициям: Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Если мы возьмем первую частную произ­водную Т по Х1, то получим:

Приравняв это выражение нулю и разделив обе части уравнения на 2, получим:

Таким же образом:

Таким образом, проблему минимизации V при данном Е для портфеля с N компонентами можно решить с помощью системы N + 2 уравнений с N + 2 неиз­вестными. Для случая с четырьмя компонентами обобщенная форма будет иметь следующий вид:

где Е = ожидаемая прибыль портфеля;

Хi = процентный вес ценной бумаги i;

Ui = ожидаемая прибыль по ценной бумаге i;

COV А, Б = ковариация между ценными бумагами А и Б;

L1 = первый множитель Лагранжа;

12 = второй множитель Лагранжа.

Обобщенную форму можно использовать для любого числа компонентов. Напри­мер, если речь идет о трех компонентах (т.е. N = 3), система уравнений будет выг­лядеть следующим образом:

Прежде чем решать систему уравнений, необходимо задать уровень ожидаемой прибыли Е. Решением будет комбинация весов, которая даст искомое Е при наименьшей дисперсии. После того как вы определитесь с выбором Е, у вас бу­дут все входные переменные, необходимые для построения матрицы коэффи­циентов.

Переменная Е в правой части первого уравнения — это значение прибыли. для которой вы хотите определить комбинацию ценных бумаг в портфеле. Первое уравнение говорит о том, что сумма всех ожидаемых прибылей, умноженных на

соответствующие веса, должна равняться заданному Е. Второе уравнение отража­ет тот факт, что сумма весов должна быть равна 1. Была показана матрица для слу­чая с тремя ценными бумагами, но вы можете использовать обобщенную форму для N ценных бумаг.

Возьмем ожидаемые прибыли и ковариации из уже известной таблицы ковариаций и подставим коэффициенты в обобщенную форму. Таким образом из ко­эффициентов обобщенной формы можно создать матрицу. В случае четырех ком­понентов (N = 4) мы получим 6 рядов (N + 2):

X1 X2 X3 X4 L1 L2 Ответ 0,095 0,13 0,21 0,085 Е 1 1 1 1 1 0,1 - 0,0237 0,01 0 0,095 1 0 - 0,0237 0,25 0,079 0 0,13 1 0 0,01 0,079 0,4 0 0,21 1 0 0 0 0 0 0,085 1 0

Отметьте, что мы получили 6 столбцов коэффициентов. Если добавить столбец свободных членов к матрице коэффициентов, мы получим расширенную матрицу.