Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Для длинных опционных позиций, т.е. отнесенных в дебет:

Для коротких опционных позиций, т.е. отнесенных в кредит:

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

f= оптимальное f (от 0 до 1);

S= текущая цена опциона;

Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инстру­мента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;

Р(Т, U) = вероятность, что базовый инструмент равен U, когда время, ос­тавшееся до истечения срока исполнения, равно Т;

Y= разность между арифметическим математическим ожидани­ем базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и теку­щей ценой.

Зная среднее геометрическое HPR и среднее арифметическое HPR, можно опре­делить стандартное отклонение значений HPR:

где А = арифметическое среднее HPR;

G = геометрическое среднее HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR.

В этой главе мы познакомились еще с одним способом расчета оптимального f. Предложенный метод подходит для несистемных трейдеров. В виде входного па­раметра здесь используется распределение результатов по базовому инструменту к определенной дате в будущем. Данный подход позволяет найти оптимальное f как для отдельных опционных позиций, так и для сложных позиций. Существен­ным недостатком метода является то, что связи между всеми позициями должны быть случайными или причинными.

Означает ли вышесказанное, что мы не можем использовать методы поиска оптимального f, рассмотренные в предыдущих главах, для нескольких одновре­менно открытых позиций или опционов? Нет, вы всегда можете выбрать наиболее эффективный с вашей точки зрения подход. Методы, детально описанные в этой главе, имеют как определенные недостатки, так и достоинства (например воз­можность расчета оптимального времени выхода). В следующей главе мы будем изучать темы, касающиеся построения оптимального портфеля, что позднее по­может нам в управлении капиталом при одновременной торговле по нескольким позициям.

Цель этой книги — изучить портфели рыночных систем, использующих раз­личные инструменты с различных рынков. В данной главе мы достаточно подроб­но рассмотрели теоретические цены опционов и теперь перейдем к созданию оп­тимального портфеля.

Глава 6

Корреляционные связи и выведение эффективной границы

Мы узнали несколько способов поиска оптимального количества при торговле фьючерсами, акциями и опционами (по отдельнос­ти или совместно с другими инструментами), когда существует либо случайная, либо причинная связь между ценами инструмен­тов. Можно определить оптимальный набор, когда коэффици­ент линейной корреляции двух любых элементов портфеля равен 1, - 1 или 0. Однако связи между двумя элементами портфеля, рассматриваем ли мы корреляцию цен (в немеханической торго­вой системе) или изменений баланса (в механической системе), редко дают такие удобные значения коэффициентов линейной корреляции. В этой главе описан способ определения эффективной границы портфелей рыночных систем, когда коэффициенты линейной кор­реляции любых двух компонентов рассматриваемого портфеля принимают произвольные значения между -1 и 1 включительно. Далее описан метод, применяемый профессионалами для расчета оптимальных портфелей акций. В следующей главе мы адаптируем его для использования любых инструментов. Данная глава основана на важном предположении, которое зак­лючается в том, что распределения, генерирующие последова­тельность сделок (распределения прибылей), имеют конечную дисперсию. Предложенные методы эффективны только тогда, когда используемые входные данные имеют конечную дисперсию[24].

Определение проблемы

На некоторое время оставим саму идею оптимального f (мы вернемся к нему поз­же). Легче всего понять параметрическое выведение эффективной границы, если рассмотреть портфель акций. Будем исходить из того, что эти акции находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита, полу­ченного от брокерской фирмы (не на маржинальном счете). С учетом этого ограничения мы выведем эффективную границу портфелей, т.е. из предложенных акций создадим комбинацию, которая будет иметь наименьший уровень ожидаемого риска для данного уровня ожидаемого выигрыша. Эти уровни задаются степенью неприятия риска инвестором. Теория Марковица (или Совре­менная теория портфеля) часто называется теорией Е— V (Expected return (ожида­емая прибыль) —Variance of return (дисперсия прибыли)). Отметьте, что входные параметры основаны на данных по прибыли, таким образом, входные данные для выведения эффективной границы — это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям оп­ределяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же пери­од, выраженные в процентах. Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8 1/2% в год. Отметьте, что в этом примере продолжительность периода инвестирования (когда мы измеряем прибыли и их дисперсии) — 1 год:

Инвестиция Ожидаемая прибыль Ожидаемая дисперсия прибыли Toxico 9,5% 10% Incubeast Corp. 13% 25% LA Garb 21% 40% Сберегательный счет 8,5% 0%

Если прибавить к значению ожидаемой прибыли единицу, мы получим HPR. Так­же мы можем извлечь квадратный корень из значения ожидаемой дисперсии при­были и получить ожидаемое стандартное отклонение прибыли.

Используемый временной горизонт не имеет значения при условии, что он одинаковый для всех рассматриваемых компонентов. Если речь идет о прибыли, неважно, что мы используем: год, квартал, 5 лет или день, — пока ожидаемые прибыли и стандартные отклонения для всех рассматриваемых компонентов име­ют одни и те же временные рамки.

Инвестиция Ожидаемая прибыль (HPR) Ожидаемое стандартное отклонение прибыли Toxico 1,095 0,316227766 Incubeast Corp. 1,13 0,5 LA Garb 1,21 0,632455532 Сберегательный счет 1,085 0

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей ~ то же самое, что и потен­циальный риск. Отметьте, что данная модель двумерная. Мы можем сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы коорди­нат (см. рисунок 6-1), где по вертикали (ось Y) откладывается ожидаемая при­быль, а по горизонтали (ось X) откладывается ожидаемая дисперсия, или стандар­тное отклонение прибылей.

Рисунок 6-1 Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (ве­роятность) катастрофического убытка, который теория Е — V не рассматривает отдельно от дисперсии прибылей. Мы не будем изучать эту концепцию в данной главе, а будем обсуждать теорию Е — V в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из теории Е — V, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функци­ей ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два (на которых основана теория Е — V), например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является функцией гораз­до большего числа переменных и включает более высокие моменты распределе­ний. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается коли­чественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, желающий использовать теорию Е — V, это придать количественный смысл своим предположениям относи­тельно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых цен­ных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть про­шлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за опреде­ленные периоды. Как уже было отмечено, термин «прибыли» означает не толь­ко дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией про­центных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержа­ния можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дис­персия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли). Вместо того чтобы определять эти значения эмпири­ческим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий[25]. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров явля­ется комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпири­ческий подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необ­ходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий. Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комби­нации обоих подходов.