Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Ни одна дробь с целым числителем и знаменателем не может быть в точности равной π, но существует много простых дробей, которые дают исключительно хорошее приближение числа π. Самая замечательная из таких дробей была найдена еще в V веке до нашей эры знаменитым китайским астрономом Цю Шунь-ши.

На Западе ее открыли лишь тысячу лет спустя. Получить ее можно с помощью числового фокуса. Напишем по два раза первые три нечетных числа: 1,1, 3, 3, 5, 5. Три последних числа сделаем числителем, а три первых — знаменателем дроби: 355/113. Трудно поверить (а между тем это чистейшая правда), что эта дробь позволяет вычислить π с точностью до седьмого знака. Приближенные значения π можно получать и с помощью корней из различных чисел. Так, древние заменяли π числом 101/2 (3,1413…). Еще лучшее приближение дает 311/2 (3,1413…). Для любителей нумерологии заметим, что первые две цифры десятичного разложения π — это те самые тройка и единица, которыми записано число 31. Длина ребра куба объемом 31 см3 отличается от π меньше чем на 0,001 см. Неплохим приближением к π может служить сумма 21/2 + 31/2, равная 3,146…

Первые попытки вычислить точное значение π тесно связаны с попытками решить классическую проблему квадратуры круга.

Можно ли, пользуясь только циркулем и линейкой, построить квадрат, площадь которого была бы в точности равна площади данного круга? Если бы мы могли представить π в виде рациональной дроби или корня линейного или квадратного уравнения, то с помощью циркуля и линейки нам нетрудно было бы построить отрезок прямой, длина которого была бы в точности равна половине длины окружности. Отсюда уже совсем просто было бы получить квадратуру круга: для этого достаточно построить прямоугольник, у которого одна сторона равна радиусу окружности, а другая — половине ее длины. Площадь такого прямоугольника равна площади круга, а превратить его в равновеликий квадрат легко. Наоборот, если бы задача о квадратуре круга была разрешима, то это бы означало, что мы можем построить отрезок прямой, длина которого была бы в точности равна π. Однако существуют совершенно строгие доказательства трансцендентности числа тг и невозможности построения с помощью циркуля и линейки отрезка, длина которого выражается трансцендентным числом.

Предлагались сотни способов приближенного построения π; одно из наиболее точных построений основано на уже упоминавшемся нами приближенном представлении числа π в виде рациональной дроби, найденной китайским астрономом. Проведем в четверти единичного круга несколько линий (рис. 210) так, чтобы отрезок bc был равен 7/8 радиуса, dg — 1/2, отрезок de был параллелен отрезку ас, а df — параллелен отрезку be. Тогда, как легко видеть, расстояние fg равно 16/113, или 0,1415929… Поскольку 355/113 = 3 + 16/133, отложим отрезок втрое длиннее радиуса, продолжим его на расстояние fg и получим новый отрезок, длина которого отличается от π меньше чем на одну миллионную.

Рис. 210 Как построить отрезок прямой, длина которого отличается от π меньше чем на 0,0000003.

Тысячи людей, бившихся над решением задачи о квадратуре круга, были уверены, что им удалось построить отрезок, длина которого в точности равна π, но никто из них не смог превзойти английского философа Томаса Гоббса, в котором высокий интеллект сочетался с глубочайшим невежеством. Во времена Гоббса даже образованного англичанина не обучали математике, поэтому Гоббс до сорока лет не заглядывал в «Начала» Евклида. Впервые в жизни прочитав формулировку теоремы Пифагора, он воскликнул: «Боже, но это невозможно!» Однако затем шаг за шагом он проследил все доказательство и убедился в его правильности. С тех пор и до конца своей долгой жизни Гоббс с пылом влюбленного все свои помыслы безраздельно отдавал геометрии. «Геометрия чем-то напоминает вино», — писал он позднее. Рассказывают, что, когда у него под рукой не оказывалось более подходящей поверхности, Гоббс имел обыкновение чертить геометрические фигуры у себя на ноге или на простынях.

Если бы Гоббс так и остался любителем, то его последующие годы протекали бы более спокойно, однако чудовищное самомнение привело к тому, что он возомнил себя способным на великие математические открытия. В 1665 году, в возрасте 67 лет, он выпустил в свет на латинском языке книгу под названием «De corpore» («О телах»), в которой, помимо прочего, излагался остроумный метод решения задачи о квадратуре круга. Его метод и в самом деле позволял найти превосходное приближение числа π, но Гоббс считал свой метод точным. Джон Валлис, знаменитый английский математик и специалист по криптографии, изложил ошибки Гоббса в памфлете. Так началась самая продолжительная, нелепейшая и бесполезная словесная перепалка, в которой когда-либо участвовали два блестящих ума. Спор длился почти четверть века, обе стороны перемежали в своих публичных выступлениях едкий сарказм грубой бранью. Валлис продолжал бессмысленную «драку» отчасти ради собственного развлечения, отчасти для того, чтобы выставить Гоббса в смешном свете и тем самым очернить его религиозные и политические убеждения, которые Валлис порицал.

На первые нападки Валлиса Гоббс ответил переизданием своей книги на английском языке с добавлением, озаглавленным «Шесть уроков профессорам математики…» (думаю, читатели простят мне, если я не стану приводить полностью характерные для XVII века длиннейшие заглавия). Валлис парировал выступление своего противника, опубликовав «Поправку, в которой нуждаются познания мистера Гоббса в одной школьной дисциплине, не говоря уже о его "Шести уроках"». В ответ на это Гоббс разразился «Замечаниями об абсурдной геометрии, деревенском языке, церковной политике в Шотландии и дремучем невежестве Джона Валлиса». Тот не заставил себя ждать и выпустил труд под названием «Hobbiani Pincti Dispunctio, или опровержение замечаний мистера Гоббса».

Несколько позднее (опубликовав анонимно в Париже абсурдный метод решения задачи об удвоении куба) Гоббс писал: «Либо я сошел с ума, либо все они (профессора математики) не в своем разуме. Третьего быть не может, разве что они скажут, будто мы все рехнулись».

«Довод моего противника не нуждается в опровержении, — был ответ Валлиса, — ибо если он сошел с ума, то вряд ли его можно убедить доводами рассудка. Если же мы все сошли с ума, то мы не в состоянии даже попытаться опровергнуть его довод».

С небольшими перерывами борьба продолжалась до самой смерти Гоббса, последовавшей на 91-м году жизни философа. «Мистер Гоббс всегда был далек от мысли бросать кому-нибудь вызов, — писал Гоббс в одной из своих филиппик против Валлиса (и действительно, в отношениях с другими людьми Гоббс был крайне робок), — но, бросив ему вызов, вы убедитесь, что перо его не уступит в остроте вашему. Все сказанное вами состоит наполовину из лжи, наполовину из брани. Оно ничем не отличается от того зловония, которое испускает старая кляча, если, обкормив ее овсом, мы слишком туго затянем подпругу. Я кончил. Я уделил вам достаточно внимания и не намерен возвращаться к этому неприятному для меня занятию вновь…»

Не станем подробно обсуждать здесь то, что Валлис назвал удивительной «неспособностью» Гоббса «научиться тому, чего он не знает». Достаточно сказать, что Гоббс опубликовал около десятка различных способов решения задачи о квадратуре круга. Первое и лучшее решение показано на рис. 211.

Рис. 211 Один из способов решения задачи о квадратуре круга, принадлежащий Гоббсу.

Внутри единичного квадрата проведены дуги ас и bd. Каждая из них равна четверти окружности единичного радиуса. Точка q делит дугу bf пополам. Проведем отрезок rq, параллельный стороне квадрата, и продолжим его за точку q на расстояние, равное rq (то есть отложим на продолжении отрезок qs = rq). Проведем отрезок fs и продолжим его до пересечения со стороной квадрата в точке t. Гоббс утверждал, что отрезок bt в точности равен дуге bf, а так как дуга bf составляет 1/12 единичной окружности, то число π равно шестикратной длине отрезка bt. При этом значение π получается равным 3,1419…

Одну из главных причин всех затруднений Гоббса понять нетрудно. Он никак не мог привыкнуть к мысли о том, что точки, линии и поверхности можно рассматривать абстрактно как геометрические объекты, размерность которых меньше трех. «По-видимому, он так и ушел в могилу, — пишет в книге «Ссоры авторов» Исаак Дизраэли, — с твердым убеждением, что поверхности обладают и глубиной и толщиной, несмотря на все возражения геометров, выслушанные им при жизни». Гоббс являет собой классический пример человека выдающихся способностей, вступившего в область науки, для которой он плохо подготовлен, и растратившего всю энергию на решение пустых псевдонаучных вопросов.