Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Дверь открыл сам хозяин, стройный седовласый человек лет пятидесяти с небольшими морщинками у глаз.

— Не возражаешь, если мы немного посидим на кухне? — спросил он, впуская меня в квартиру. — Жена смотрит телепередачу, и, пока программа не кончится, ее лучше не беспокоить. Налить тебе бурбон-виски?

Мы сели за кухонный столик и подняли стаканы.

— За матемагию! — сказал я. — Что новенького?

Виктор тотчас же извлек из кармана рубашки колоду карт.

— Последняя новинка в карточных фокусах — это принцип Гилбрейта — одна довольно хитрая теорема, открытая Норманом Гилбрейтом, молодым фокусником из Калифорнии.

Разговаривая, Виктор быстро разложил карты на столе так, что черные и красные масти чередовались друг с другом.

— Ты, конечно, знаешь, что если снять часть колоды, взять одну половину колоды в правую руку, другую — в левую и предоставить картам падать одна на другую, то расположение карт будет весьма далеким от случайного?

Я снял верхнюю часть колоды и перетасовал карты по способу Виктора.

— Посмотри на карты, — сказал Виктор. — Видишь, правильное чередование черных и красных карт не нарушилось.

— Вижу.

— Сними карты еще раз, но так, чтобы нижняя карта верхней половины и верхняя карта нижней половины были одного цвета.

Обе половинки порознь передай мне. Карты держи рубашкой кверху, чтобы я не видел их лицевой стороны.

Я послушно выполнил все указания. Виктор опустил обе половинки под стол, так что никто из нас не мог видеть карт, и сказал:

— Я пытаюсь на ощупь определить цвет карт и составить черно-красную пару.

Нужно ли говорить, что первая же пара карт, которую он выложил на стол, была черно-красной. За первой парой последовала вторая, третья… десятая.

— Как ты это делаешь?

Виктор, не дав мне договорить, засмеялся. Бросив оставшиеся карты на стол, он начал открывать одну пару карт за другой. В каждой паре одна карта была красного, а другая — черного цвета.

— Нет ничего проще, — сказал он и пояснил: — Карты нужно снять, верхнюю часть карт положить снизу, а затем — запомни, это самое главное — разделить колоду на две части так, чтобы разделенными оказались две карты одного цвета. Чередование карт нарушится, но карты будут по-прежнему упорядочены и в каждой паре сохранится по одной черной и по одной красной карте.

— Не может быть!

— Подумай немного и ты поймешь, почему так получается, хотя сформулировать доказательство в нескольких словах не так легко. Кстати сказать, мой друг Эдгар Н. Джилберт из лаборатории фирмы «Белл» включил интересную головоломку, основанную на аналогичном принципе, в свою недавнюю работу о тасовании карт и теории информации. Я набросал ее для тебя.

С этими словами он протянул мне листок бумаги, на котором означились буквы:

TLVEHEDINSAGMELRLIENATGOVRAR

GIANESTYOFOFIFFOSHHRAVEMEVSO

— Эти буквы взяты из одной фразы, опубликованной в Scientific American пять лет назад, — пояснил он. — Джилберт написал каждую букву на отдельной карточке, а карточки сложил в колоду так, что всю фразу можно было прочитать, двигаясь сверху вниз.

Разделив колоду на две части и поменяв их местами, он записал новую последовательность, в которой расположились буквы. По его наблюдениям, на расшифровку фразы в среднем уходит около получаса. Дело в том, что, сняв карты, мы лишь незначительно меняем информацию, содержащуюся в исходной последовательности карт, а избыточность различных буквенных комбинаций в английском языке настолько велика, что вероятность составить фразу, отличную от первоначальной, крайне мала (в своей работе Джилберт даже приводит точное значение этой вероятности).

Я загремел кубиками льда в своем стакане.

— Прежде чем наполнить стаканы, — сказал Виктор, — я хочу показать тебе один остроумный фокус с предсказанием. Нам потребуется твой стакан и девять игральных карт. — И он разложил на столе девять карт со значениями от единицы до девятки в виде известного магического квадрата 3x3 (рис. 216).

Рис. 216 Карты и стакан, приготовленные для фокуса с предсказанием.

Все карты были червовой масти, только в центре лежала пятерка пик. Из кармана Виктор достал конверт и положил его рядом с магическим квадратом.

— Я хочу, чтобы ты поставил свой стакан на любую из этих девяти карт, — продолжал он, — но сначала я должен сообщить тебе, что в этом конверте лежит библиотечная карточка, на которой записаны кое-какие инструкции. Составляя их, я исходил из предположения о том, какую карту ты выберешь и как ты будешь переставлять свой стакан потом, когда карты нужно будет выбирать случайным образом. Если мои предположения верны, ты закончишь на карте в центре квадрата.

Он постучал пальцем по пятерке пик.

— А теперь можешь поставить стакан на любую из девяти карт, в том числе и на пятерку пик.

Я поставил стакан на двойку червей.

— Так я и думал, — засмеялся Виктор. Он вытащил из конверта карточку, и я прочитал следующие инструкции:

1. Отбрось семерку.

2. Сделай семь ходов и отбрось восьмерку.

3. Сделай четыре хода и отбрось двойку.

4. Сделай шесть ходов и отбрось четверку.

5. Сделай пять ходов и отбрось девятку.

6. Сделай два хода и отбрось тройку.

7. Сделай один ход и отбрось шестерку.

8. Сделай семь ходов и отбрось туза.

«Ход» состоит в передвижении стакана на соседнюю карту по вертикали или горизонтали, но не по диагонали. Тщательно следуя полученным инструкциям, я старался делать все ходы как можно более случайным образом.

К моему величайшему удивлению, стакан ни разу не оказался на той карте, которую я должен был отбросить, а после того, как я изъял восемь карт, мой стакан, как и предсказывал Виктор, остался стоять на пятерке пик!

— Ты совсем закрутил мне голову, — признался я. — А какую бы карту нужно было отбросить, если бы я поставил стакан на семерку пик?

— Должен признаться, — ответил Виктор, — что в этом фокусе есть немного жульничества, не имеющего отношения к математике.

Расположение карт в виде магического квадрата не имеет никакого отношения к делу. Существенно лишь, где лежат карты: карты, лежащие на нечетных местах — в углах и в центре, — образуют одно множество, карты, лежащие на четных местах, образуют множество противоположной четности. Увидев, что ты поставил стакан на карту из нечетного множества, я дал тебе те инструкции, которые ты видел. Если бы ты поставил стакан на карту из четного множества, то я бы, прежде чем вынимать карточку с инструкциями, перевернул конверт.

Он перевернул библиотечную карточку. На ее обратной стороне оказался второй перечень инструкций:

1. Отбрось шестерку.

2. Сделай четыре хода и отбрось двойку.

3. Сделай семь ходов и отбрось туза.

4. Сделай три хода и отбрось четверку.

5. Сделай один ход и отбрось семерку.

6. Сделай два хода и отбрось девятку.

7. Сделай пять ходов и отбрось восьмерку.

8. Сделай три хода и отбрось тройку.

— И ты считаешь, что эти два свода инструкций — один для случая, когда я ставлю стакан на четное место, другой — на нечетное, — всегда приведут к пятерке пик?

Виктор кивнул.

— Почему бы тебе не напечатать обе стороны карточки с инструкциями в журнале? Пусть читатели поломают голову над тем, как получается этот фокус.

Наполнив еще раз стаканы, Виктор сказал:

— Принцип четности используется во многих математических фокусах. Сейчас я покажу тебе один из них. У тебя создастся впечатление, что я обладаю даром ясновидения.

Он протянул мне карандаш и чистый лист бумаги.

— Сейчас я повернусь к тебе спиной, а ты нарисуешь самую затейливую замкнутую кривую с любым числом самопересечений (постарайся, чтобы их было побольше). Следи только за тем, чтобы ни в одной точке кривая не пересекала себя больше одного раза.

Он повернулся лицом к стене и оставался сидеть так, пока я рисовал кривую (рис. 217).

Рис. 217 Произвольно начерченная замкнутая кривая со случайным образом обозначенными точками самопересечения для фокуса с «ясновидением».

— Каждую точку самопересечения обозначь какой-нибудь буквой. Буквы не должны повторяться, — сказал он через плечо.

Я сделал все, как надо.

— Теперь поставь карандаш в любую точку кривой и начни обводить ее. Каждый раз, дойдя до точки самопересечения, называй вслух стоящую около нее букву. Делай так до тех пор, пока не обведешь всю кривую, но в одном месте — где именно, неважно — две соседние буквы поменяй местами. Под соседними я понимаю буквы, которые расположены рядом друг с другом в направлении обхода кривой. Когда будешь переставлять буквы, мне ничего не говори.