Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Ситуация станет менее ужасной, если учесть, что теорема, неразрешимая в смысле Гёделя в рамках данной дедуктивной системы, всегда может быть разрешена средствами математики в расширенной системе. Если когда-нибудь будет доказано, что проблема четырех красок неразрешима в смысле Гёделя в рамках дедуктивной системы, опирающейся на определенные постулаты топологии и теории множеств, то она автоматически станет «истинной» (как объяснил нам Сиама), но «истинной» в метаматематическом смысле, то есть разрешимой в некоторой более широкой дедуктивной системе, может быть, в системе, в которую утверждение о возможности раскраски любой карты четырьмя красками само входит в качестве нового постулата.

Ответы

1. Смешав всю имеющуюся у него синюю краску с третью всего количества красной краски, художник получил столько пурпурной краски, что ее хватило для закрашивания шестнадцати квадратных футов полотна. После того как большая область в верхней части абстрактной картины (рис. 223) и центральная область закрашены в желтый цвет, раскрасить остальные области в красный, зеленый и пурпурный цвета уже нетрудно.

2. Раскрасить плоскость в два цвета так, чтобы вершины наложенного на нее равностороннего треугольника со стороной в 1 при любой его ориентации не попадали на три точки одного цвета, проще всего так: нужно разделить плоскость на параллельные полосы, каждая шириной в

единиц, а затем попеременно раскрасить их в черный и белый цвета так, как показано на рис. 224.

Рис. 224 Решение задачи о треугольнике и двуцветной карте.

Чтобы «полосатая» плоскость давала решение задачи, необходимо ввести понятие открытого и замкнутого множества. Континуум вещественных чисел, например чисел, заключенных между 0 и 1, называется замкнутым интервалом, если 0 и 1 принадлежат ему, и открытым интервалом, если 0 и 1 не принадлежат ему. Если интервал включает один из своих концов (0 или 1) и не включает другого, то говорят, что он замкнут с одного и открыт с другого конца.

Полосы на карте будем считать замкнутыми слева и открытыми справа. Самая левая черная полоса начинается с отметки 0 (внизу) и доходит до отметки

но не включает эту отметку. Следующая (белая) полоса включает отметку

и доходит до отметки

не включая ее, и т. д. Иначе говоря, каждая вертикальная линия на карте принадлежит лишь той полосе, которая расположена справа от нее. Это необходимо для соблюдения условий задачи в тех случаях, когда все три вершины треугольника (рис. 224) должны были бы располагаться на границах между полосами.

Л. Мозер, приславший эту задачу, сообщает, что ему не известно, во сколько цветов нужно раскрасить плоскость для того, чтобы концы единичного отрезка не лежали на точках одного и того же цвета. Было доказано, что четыре краски необходимы, а семи красок достаточно. (То обстоятельство, что семи красок достаточно, видно из рассмотрения правильной мозаики, выложенной из шестиугольников, если взять радиус описанной вокруг каждого шестиугольника окружности чуть больше единицы и окрасить их так, чтобы цвета любого шестиугольника и шести окружающих его шестиугольников были различными.) Разрыв между четырьмя красками (необходимое условие) и семью красками (достаточное условие) настолько велик, что задача, по-видимому, еще долгое время не будет решена.[68]

Глава 44. МИСТЕР АПОЛЛИНАКС В НЬЮ-ЙОРКЕ

Когда мистер Аполлинакс посетил Соединенные Штаты,

Чайные чашки звенели от его смеха.

П. Бертран Аполлинакс, блестящий протеже знаменитого французского математика Никола Бурбаки, до весны 1960 года был мало известен даже во Франции. Многим известно, что именно весной 1960 года весь математический мир был потрясен появлением в одном французском математическом журнале небольшой заметки, в которой давалось определение функции, ныне известной как «функция Аполлинакса». С помощью этой замечательной функции Аполлинакс смог одним ударом 1) доказать великую теорему Ферма; 2) построить контрпример (карту с 5693 областями) к знаменитой топологической проблеме четырех красок; 3) заложить основу для сделанного три месяца спустя Ченнингом Чита открытия — обнаружения 5693-значного целого числа, которое одновременно и совершенно, и нечетно (до того ни одного такого числа известно не было).

Читатель поймет, с каким волнением я получил от профессора Чита из Нью-Йоркского университета приглашение на чаепитие, где Аполлинакс должен был быть почетным гостем. Профессор Чита живет в Гринвич-Вилледж, в большом каменном доме неподалеку от Пятой авеню. Дом этот принадлежит миссис Орвиль Флаккус, вдове известного финансиста. Студенты расположенного по соседству Нью-Йоркского университета называют его Дворцом Флаккуса. Когда я пришел, встреча была в полном разгаре. Я узнал нескольких профессоров математического факультета и догадался, что большинство молодых людей — аспиранты того же факультета.

Ошибиться в том, кто из присутствующих был Аполлинаксом, было невозможно. Он явно находился в центре всеобщего внимания. Высокий мужчина лет тридцати с небольшим, с резкими чертами лица, которые нельзя было назвать привлекательными, он производил впечатление человека, в котором физическая мощь сочетается с выдающимся интеллектом. У него была небольшая черная эспаньолка, а из-под твидового пиджака выглядывал ярко-красный жилет.

Пока миссис Флаккус наливала мне чашку чаю, я услышал, как одна молодая девушка сказала:

— Мистер Аполлинакс, это серебряное кольцо у вас на пальце сделано в виде листа Мёбиуса?

Аполлинакс снял кольцо и протянул девушке.

— Да. Его сделал мой друг ювелир, владелец мастерской на набережной Сены.

Говорил Аполлинакс с сильным французским акцентом.

— С ума сойти! — воскликнула девушка, возвращая кольцо. — А вы не боитесь, что когда-нибудь ваш палец может исчезнуть?

Аполлинакс громко засмеялся.

— Если от этого можно сойти с ума, то у меня есть для вас кое-что, от чего подавно можно потерять рассудок.

С этими словами Аполлинакс сунул руку в боковой карман и вытащил оттуда плоскую квадратную коробочку из дерева. В ней оказалось семнадцать белых пластмассовых плиток, плотно прилегающих друг к другу (рис. 225, слева). Плитки были такой толщины, что пять маленьких плиток в центре коробочки имели форму кубов. Аполлинакс попросил обратить внимание на число кубиков, вывалил все плитки на стол и быстро собрал их снова в коробочку, но на этот раз так, как показано на рис. 225 справа.

Рис. 225 К таинственному исчезновению кубика.

Все плитки, как и прежде, плотно прилегали друг к другу, но кубиков теперь было только четыре. Один кубик исчез! Девушка с недоверием посмотрела сначала на плитки в коробочке, потом на Аполлинакса, который трясся от хохота.

— Позвольте мне немного рассмотреть их, — попросила она.

Взяв из рук Аполлинакса коробочку, девушка удалилась с ней в дальний угол комнаты.

— Кто эта птичка? — спросил Аполлинакс у профессора Чита.

— Простите? — переспросил профессор.

— Ну, та девушка в свитере.

— Ах эта. Ее зову Нэнси Эллискот. Она из Бостона, одна из лучших студенток-математиков.

— Очень мила.

— Вы находите? Я никогда не видел, чтобы она носила что-нибудь, кроме джинсов и того грязного свитера, что на ней сейчас.

— Мне нравится непринужденность жителей Гринвич-Вилледж, заметил Аполлинакс, — они все так похожи друг на друга.

— Иногда, — подал голос кто-то из гостей, — непринужденность трудно отличить от невроза.

— Это напоминает мне, — сказал я, — математическую загадку, которую я недавно слышал. В чем разница между психопатом и неврастеником?

Никто не ответил на мой вопрос.

— Психопат думает, — продолжал я, — что дважды два — пять.

Неврастеник знает, что дважды два равно четырем, и это его нервирует.

Раздался вежливый смех, но Аполлинакс помрачнел.

— У неврастеника есть все основания нервничать. Разве Александр Поуп не писал: «О боги! Почему дважды два непременно должно быть равно четырем?» И действительно, почему? Кто может сказать, почему масло масляное? Кто смеет утверждать, что даже простая арифметика свободна от противоречий?

Аполлинакс вынул из кармана записную книжку и написал на чистой страничке следующий бесконечный ряд:

4–4 + 4–4 + 4–4 + 4…

— Чему, как вы думаете, — спросил он, — равна сумма этого ряда? Если его члены сгруппировать так:

(4–4) + (4–4) + (4–4) +…,