Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

1. На рис. 230 показана игра в КВБ, закончившаяся вничью. Это изящное решение, найденное Мак-Лури, очень непросто.

Рис. 230 Ничья при игре в КВБ.

Двое читателей, перебрав все возможные случаи, показали, что оно единственно с точностью до небольших вариаций в четырех клетках доски, указанных стрелками. Каждая из этих клеток может быть любого цвета, но все четыре клетки не должны быть одного и того же цвета, а поскольку каждый игрок имеет лишь восемнадцать фишек, то две из этих четырех клеток должны быть одного цвета, а две — другого. Расположены они так, что, как бы мы ни поворачивали доску, схема их размещения с точностью до цвета остается неизменной.

Доска размером 6x6 клеток — самая большая из досок, на которых возможна ничья. Это доказал в 1960 году Роберт А. Джьюитт.

Он сумел показать, что ничья невозможна на доске размером 7x7 клеток, а поскольку все большие доски содержат подквадрат из 7x7 клеток, то ничья на них также невозможна.

При игре в КВБ на доске размером 6x6 клеток всегда можно добиться ничьей. Следуя довольно простой симметричной стратегии, второй игрок всегда может свести игру вничью. Он может в ответ на каждый ход противника ставить свою фишку на поле, расположенное симметрично вертикальной или горизонтальной оси доски, или на поле, в которое переходит при повороте на 90° вокруг центра доски клетка, занятая последней фишкой противника (во втором случае может возникнуть позиция, изображенная на рис. 230). Возможна и другая стратегия: последнюю занятую противником клетку соединить с центром доски и, продолжив отрезок прямой по другую сторону от центра, занять клетку на этой прямой, отстоящую от середины доски на то же расстояние, что и клетка противника. Все стратегии применимы к любым доскам четного порядка, а поскольку на досках, порядок которых превышает 6, ничья невозможна, эти стратегии обеспечивают победу второму игроку на всех досках четного порядка, начиная с 8. Даже при игре на доске 6x6 зеркальносимметричная стратегия (когда второй игрок «отражает» ходы первого в оси, делящей доску пополам и параллельной ее краю) заведомо обеспечивает победу, поскольку единственная позиция, при которой достигается ничья, не обладает зеркальной симметрией.

Симметричная стратегия неприменима к доскам нечетного порядка из-за наличия у них центральной клетки. Поскольку относительно оптимальной стратегии для игры на досках нечетного порядка мы ничего не знаем, лучше всего ограничиваться доской седьмого порядка. Игра на такой доске не может закончиться вничью, но до сих пор не известно, кто из игроков — первый или второй — одержит победу, если обе стороны будут играть рационально.

В 1963 году была составлена программа для игры в КВБ для компьютера ИБМ-1620. Компьютер мог играть, делая первый или второй ход, на досках порядка от 4 до 10. Если он должен был делать первый ход, то выбирал клетку случайным образом. В последующих ходах придерживался зеркальносимметричнои стратегии, но если очередная клетка «достраивала» квадрат (то есть была четвертой вершиной квадрата), то производил случайный поиск свободной клетки до тех пор, пока не обнаруживал «безопасного» поля.

Для всех квадратных досок порядка п число различных квадратов, которые можно построить из четырех клеток, равно

Вывод этой формулы, а также формулы для прямоугольных досок содержится в книге Г. Лэнгмэна «Математика в играх».[72]

Насколько известно, возможность размещения фишек, не образующих треугольников, на треугольных досках не исследовалась.

2. Тепловоз может переставить вагоны А и В и вернуться на прежнее место за шестнадцать операций:

1) тепловоз едет вправо и сцепляется с вагоном А;

2) тащит А вниз;

3) заталкивает А на левую ветку и отцепляется от него;

4) движется вправо и проходит стрелку;

5) двигаясь по часовой стрелке, описывает круг и проходит тоннель;

6) толкает вагон В влево; оба вагона прицепляют к тепловозу;

7) тащит вагоны А и В вправо;

8) заталкивает А и В наверх; вагон А отцепляют от В;

9) тепловоз тащит В вниз;

10) толкает В влево, вагон В отцепляют от тепловоза;

11) тепловоз проходит сквозь тоннель, описывая круг против часовой стрелки;

12) заталкивает вагон А вниз;

13) едет влево и сцепляется с В;

14) тащит вагон В вправо;

15) заталкивает В наверх и отцепляется от него;

16) уезжает влево, на то место, где находился до начала маневров.

Точно так же можно действовать и в том случае, когда тепловоз не может тащить вагоны, прицепленные к нему спереди, если в самом начале тепловоз обращен к вагонам задней стенкой.

Следует заметить, что если даже нижний путь, ведущий влево, убрать, то задача все же будет иметь решение, хотя понадобится совершить еще две операции (полное решение будет, таким образом, состоять из восемнадцати операций). Может быть, читатели сами догадаются, как это сделать?

3. Самое интересное в задаче о рекламных щитах заключается в том, что для ответа на нее не нужно знать скорость машины. Пусть х — число щитов, промелькнувших в течение одной минуты. За час машина проедет мимо 60х щитов. Скорость машины, как известно из условия задачи, равна 10х миль/ч. Пройдя расстояние в 10х миль, машина проедет мимо 60х рекламных щитов, следовательно, на расстоянии 1 мили она проедет мимо 60х/10х, или 6 щитов. Это означает, что расстояние между щитами равно 1/6 мили, или 880 футам.

4. Если куб разрезать пополам плоскостью, проходящей через середины шести его ребер так, как показано на рис. 231, то поперечное сечение будет иметь вид правильного шестиугольника.

Рис. 231 Сечение куба, имеющее форму правильного шестиугольника.

Если длина ребра куба составляет полдюйма, то сторона этого правильного шестиугольника равна

дюйма.

Чтобы сечение тора имело вид двух пересекающихся окружностей, секущая плоскость должна проходить через его центр и касаться тора сверху и снизу (рис. 232).

Рис. 232 Ответ к задаче о разрезании бублика.

Если диаметры тора и отверстия равны трем и одному дюйму, то диаметр каждой окружности в поперечном сечении равен, очевидно, двум дюймам.

Этим способом разрезания тора вместе с двумя другими способами, упоминавшимися в условии задачи, исчерпываются все случаи, когда сечение тора плоскостью имеет вид так или иначе расположенных окружностей.

5. На рис. 233 показано, как провести прямую, которая делит инь и ян на две равные по площади части. Проще всего это сделать, если провести две пунктирные полуокружности. Диаметр круга К равен половине диаметра монады, поэтому его площадь составляет 1/4 площади монады (напомним, что монадой называется круг, образованный двумя противоположными началами инь и ян). Вырезав из круга К лунку G и добавив область Н, получим фигуру, площадь которой по-прежнему будет в четыре раза меньше площади всей монады. Отсюда следует, что площадь G равна площади Н, а половина площади G равна половине площади Н. Проведенная прямая отсекает от круга К половину лунки G, но добавляет к К фигуру равной площади (половину Н), поэтому та часть монады, которая лежит ниже прямой и окрашена в черный цвет, должна занимать ту же площадь, что и круг К. Площадь маленького круга в четыре раза меньше площади большого круга, поэтому инь делится прямой пополам. Аналогичные рассуждения применимы и к ян.

Предыдущее доказательство принадлежит Г. Дьюдени. Однако существует другое, гораздо более простое доказательство. На рис. 233 проведем горизонтальный диаметр малого круга К.

Рис. 233 Как одной прямой разделить пополам инь и ян.

Полукруг, лежащий под этим диаметром, очевидно, имеет площадь, составляющую 1/8 площади всей монады. Над проведенным диаметром располагается сектор большого круга в 45° (ограниченный горизонтальным диаметром малого круга К и диагональю квадрата, в который вписана монада). Его площадь, очевидно, также составляет 1/8 площади большого круга. Взятые вместе, полукруг и сектор имеют площадь, равную 1/4 площади большого круга, поэтому проведенная диагональная линия должна делить и инь и ян пополам.