Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

по названию аттракциона, Гранд-Нэшнл – это гонка с участием двух поездов[92]. Когда садишься в вагончик в верхней точке аттракциона, оказывается, что он состоит из двух параллельных трасс. Те, кто едет в разных поездах, проезжают изгибы, повороты и другие элементы трассы, названные именами наиболее известных препятствий знаменитых скачек, на расстоянии вытянутой руки друг от друга. Но, когда поезда выезжают на финальный участок перед самой финишной чертой, обнаруживается нечто странное. Каждый из них приезжает не к тому перрону, от которого он отправлялся, а к противоположному. Очень интересно. Трассы нигде не смыкаются и не пересекаются. Как же создателям аттракциона удалось провернуть этот фокус?

Этот эффект достигается в точке, названной в честь злополучного препятствия Бечерс-брук, где одна из трасс проходит над другой. После этого трассы оказываются по другую сторону друг от друга и заканчиваются у противоположных остановок.

Эта простая смена сторон в точке Бечерс-брук – главный элемент ленты Мёбиуса, прекрасной математической фигуры, лежащей в основе конструкции трассы. Чтобы сделать свою собственную ленту Мёбиуса, возьмите длинную полоску бумаги шириной около 2 сантиметров. Сверните ее в кольцо, но перед тем, как соединить концы полоски, переверните один из них на 180 градусов. Если представить себе бумажную ленту, проходящую между двумя трассами аттракциона Гранд-Нэшнл, то в точке Бечерс-брук, где две колеи проходят друг под (и над) другом и меняются местами перед возвращением к началу трассы, эта бумажная лента переворачивается на 180 градусов.

Лента Мёбиуса обладает весьма любопытными свойствами. У нее всего одна сторона. Приложите к ней палец и проведите им по всему кольцу. Вы сможете довести его до любой другой точки на поверхности ленты. Это означает, что трасса американских горок в Блэкпуле – это, по сути дела, не две параллельные колеи, а одна непрерывная колея. Но больше всего американским горкам, подобным аттракциону в Блэкпуле, нужна скорость!

Если вам нужны самые скоростные американские горки, оказывается, что матанализ поможет вам составить самый быстрый маршрут до цели. Собственно говоря, это и есть та головоломка, с которой начинается эта глава. Если даны две точки А и Б в вертикальной плоскости, какой будет кривая, начинающаяся в точке А и кончающаяся в точке Б, которую объект, движущийся только под воздействием силы тяжести, пройдет за самое короткое время?

Эту задачу впервые задал не разработчик парка аттракционов, а швейцарский математик Иоганн Бернулли, и было это в 1696 году. Он выбрал ее, чтобы устроить поединок между двумя величайшими умами того времени – своим другом Лейбницем и его лондонским соперником Ньютоном:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам мира. Ничто не может быть привлекательнее для человека мыслящего, чем честная, трудная задача, возможное решение которой принесет ему славу и пребудет долговечным ему памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и проч., я надеюсь заслужить признательность всего научного сообщества, предложив лучшим математикам нашего времени задачу, которая послужит испытанием их методам и силе их разума. Если кто-либо сообщит мне решение предложенной задачи, я во всеуслышание объявлю его достойным славы.

В задаче предлагалось сконструировать наклонный путь, по которому шарик переместится из верхней точки А в нижнюю точку Б за самое короткое возможное время. Может показаться, что самым быстрым будет спуск по прямой. Или, может быть, по параболе, подобной той траектории, по которой следует шарик, подброшенный в воздух. На самом же деле ни одно из этих решений не будет правильным. Самым быстрым оказывается спуск по циклоиде – траектории, которую описывает точка на ободе катящегося велосипедного колеса.

Рис. 6.4. Циклоида: кривая, описываемая точкой окружности, катящейся по прямой

Если я переверну эту кривую, получится наискорейший спуск из А в Б. Кривая опускается ниже уровня конечной точки, и шарик набирает бо́льшую скорость, что позволяет ему преодолеть финишный подъем и докатиться до цели быстрее, чем по любой другой кривой.

Поскольку матанализ может находить минимальное и максимальное значения переменной при определенных условиях, существование бесконечного множества кривых, ведущих из А в Б, не имеет значения. Уравнения всегда позволяют нам найти самую скоростную из них.

В конце концов Ньютон и Лейбниц ввязались в ожесточенный спор о том, кто первым открыл этот поразительный шорткат к нахождению оптимальных решений задач. В течение нескольких лет они обменивались колкостями и обвинениями, пока наконец в 1712 году Лондонскому королевскому обществу не предложили рассудить их спор: действительно ли Ньютонов «метод флюксий», как называл его сам Ньютон, был открыт раньше, и содержится ли в дифференциальном методе, изобретенном Лейбницем, плагиат его идей. В 1714 году Королевское общество официально объявило создателем математического анализа Ньютона и, хотя и признало, что Лейбниц первым опубликовал свое изобретение, обвинило Лейбница в плагиате. Однако доклад Королевского общества по этому вопросу, вероятно, нельзя считать вполне беспристрастным: дело в том, что составил его президент общества, некий сэр Исаак Ньютон.

Лейбница это задело чрезвычайно сильно: он восхищался Ньютоном и так никогда по-настоящему и не оправился от этой обиды. Но по иронии судьбы в конце концов одержала верх та трактовка математического анализа, которую предлагал Лейбниц, а не Ньютон.

Хотя у основополагающих идей Лейбница было много общего с принципами, которыми руководствовался при разработке математического анализа Ньютон, между ними было и важное различие. Лейбниц пришел к своему анализу с более лингвистической, математической стороны. Его не интересовали ни падающие яблоки, ни определение изменений их скорости во времени; он рассматривал гораздо более общую картину. Матанализ Лейбница был предназначен для описания объектов, зависящих от нескольких факторов, для нахождения последствий изменения этих факторов.

Ньютон был в душе физиком, и его стремление описывать физический мир, вероятно, стесняло его возможности. Язык и обозначения, введенные Лейбницем, были гораздо более гибкими и пригодными для использования в разных ситуациях. Именно обозначения Лейбница выдержали проверку временем и преподаются в школах и университетах до сих пор.

По правде говоря, и Лейбниц, и Ньютон лишь начали процесс разработки математического анализа. Трактаты и аналитические выкладки обоих обладают многочисленными недостатками. Задача создания прочных логических основ матанализа выпала на долю следующего поколения. Но нельзя отрицать, что успехи следующего поколения стали возможными лишь благодаря тем революционным открытиям, которые совершили Ньютон и Лейбниц. Говоря словами знаменитого высказывания Ньютона: «Если я