Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

и выдает новую формулу, позволяющую определить скорость в любой момент времени. Достоинство этого инструментария в том, что он применим не только к яблокам и космическим кораблям. Он позволяет анализировать любые процессы с непрерывными изменениями.

Производителю важно знать стоимость создания новой продукции, чтобы установить цену, которая будет обеспечивать прибыль. Вначале себестоимость продукции будет очень высокой из-за расходов на оборудование производства, наем работников и так далее. Но по мере производства все больших ее объемов себестоимость каждого следующего изделия будет изменяться. Вначале она будет снижаться, потому что производство этой продукции будет становиться все более экономичным. Но если чрезмерно увеличить объемы производства, стоимость продукции снова может вырасти. Увеличение производства рано или поздно приводит к работе в сверхурочное время, использованию менее производительных старых предприятий, конкуренции за дефицитное сырье и тому подобному. В результате стоимость дополнительных изделий увеличивается.

Это несколько похоже на подбрасывание в воздух мяча: сначала мяч летит быстро, но с каждой следующей секундой замедляется и пролетает все меньшее расстояние. Математический анализ может помочь производителю понять, как себестоимость продукции изменяется с изменениями объема производства, и найти оптимальную точку, то есть узнать, сколько нужно производить, чтобы себестоимость была наименьшей.

Открытый Ньютоном шорткат к пониманию подвижного мира положил начало современной науке. Я считаю Ньютона, как и Гаусса, одним из величайших мастеров шортката всех времен. Я даже совершил паломничество в поместье Вулсторп, где, как рассказывают, Ньютон сидел под яблоней, вдохновившей его на создание этого гениального шортката. К моему удивлению, дерево все еще было на месте! Мой экскурсовод позволил мне взять два его яблока, и из одного из их семечек мне удалось вырастить яблоню в своем саду. Под этим деревом я сижу долгими часами, надеясь найти шорткат, который приведет меня к решению задачи, над которой я сейчас работаю.

Гаусс, как и я, был горячим поклонником работ Ньютона. «Было всего три математика эпохального значения, – писал он, – Архимед, Ньютон и Эйзенштейн». Последнее имя – не опечатка. Речь идет о Готтхольде Эйзенштейне[89], молодом прусском ученом, занимавшемся теорией чисел. Он произвел на Гаусса столь сильное впечатление тем, что решил несколько задач, которые тот не смог решить сам.

К истории о яблоке, якобы бывшем ключом к открытиям Ньютона, Гаусс всегда относился довольно скептически. «История с яблоком слишком абсурдна, – писал он. – Падало ли яблоко или не падало, как можно поверить, что это могло ускорить или задержать такое открытие? Несомненно, на самом деле произошло нечто вроде следующего. Какой-нибудь назойливый глупец пришел к Ньютону и стал расспрашивать его, как он сделал свое великое открытие. Когда Ньютон увидел, с каким олухом он имеет дело, и захотел от него избавиться, он сказал, что ему на нос упало яблоко; тому все стало совершенно ясно, и он ушел, удовлетворенный».

Ньютон действительно не слишком заботился о пропаганде своих идей. Для него математический анализ был не столько средством оптимизации решений, сколько личным инструментом, помогшим ему прийти к выводам, которые он изложил в «Математических началах натуральной философии» (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica), великом труде, описывавшем его идеи относительно гравитации и законов движения, которые он опубликовал в 1687 году. Он объяснял, что его анализ был ключом к научным открытиям, содержавшимся в этой книге: «Г-н Ньютон нашел бо́льшую часть тезисов, изложенных в “Началах”, при помощи этого нового Анализа».

Он любил довольно высокопарно говорить о себе в третьем лице, но так и не опубликовал никакого изложения «нового анализа». Вместо этого он частным образом распространял его идеи среди своих друзей, не ощущая потребности представлять их на всеобщее обозрение. Последствия того, что Ньютон отказывался официально публиковать свои идеи, оказались весьма неприятными. Потому что через несколько лет после открытия Ньютона математический анализ разработал и другой математик – Готфрид Лейбниц. И удобство этого средства для оптимизации сделали очевидным именно его методы.

По максимуму

Если Ньютону математический анализ был нужен, чтобы понять окружавший его непостоянный физический мир, Готфрид Лейбниц пришел к тем же идеям с более математического, философского направления. Он увлекался логикой и языками; им двигало стремление запечатлеть самое широкое многообразие разных объектов, находящихся в непрерывном движении. У Лейбница были грандиозные планы. Он был последователем невероятно рационалистских взглядов на мир. Если бы все удалось свести к математическому языку, способному недвусмысленно выразить что угодно, можно было надеяться положить конец страданиям человечества: «Исправить наши рассуждения можно, только сделав их настолько же поддающимися оценке, насколько поддаются ей рассуждения Математиков, чтобы ошибку можно было увидеть с первого же взгляда, а когда возникнут споры, мы могли попросту сказать: давайте же, не откладывая, вычислим, кто прав».

Хотя его мечта об универсальном языке решения задач так и не осуществилась, Лейбницу удалось создать свой собственный язык, способный запечатлевать непрерывно изменяющееся. В самом сердце его новой теории был алгоритм, несколько похожий на компьютерную программу или механический набор правил, который можно было применить для решения огромного множества еще не решенных задач. Лейбниц был очень доволен своим изобретением: «Ибо более всего мне нравится в моем анализе то, что он дает нам в геометрии Архимеда то же преимущество перед Древними, какое Виет и Декарт дали нам в геометрии Евклида или Аполлония, избавляя нас от необходимости использовать воображение».

Если изобретенные Декартом координаты превратили геометрию в числа, анализ Лейбница точно так же создал новый язык, позволяющий расшифровать и точно представить изменяющийся мир.

Хотя Ньютону и Лейбницу ставят в заслугу революционное превращение математического анализа в ту могущественную дисциплину, которую преподают в наше время, тот факт, что матанализ помогает находить шорткаты к оптимальным решениям задач, осознал Пьер де Ферма, прославившийся своей Великой теоремой.

Ферма хотел найти способ решения задач следующего типа. Царь пообещал своему доверенному советнику в награду за верную службу земельный надел у моря. Советник получил от царя 10 километров изгороди, чтобы застолбить прямоугольный участок, упирающийся в морской берег[90]. Советнику, естественно, хотелось бы, чтобы площадь его надела была максимальной. Как ему следует расположить изгородь?

По сути дела, тут можно варьировать лишь одну переменную – длину стороны участка, перпендикулярной берегу, которую я обозначу буквой Х. По мере ее роста протяженность участка вдоль моря уменьшается. Какое соотношение этих двух длин даст