Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
«Эффективность этого метода поражает воображение, – отмечает Джейкоб Бурджейли, физик-теоретик из Гарвардского университета, бывший в числе исследователей, разработавших эту новую идею. – Он позволяет легко выполнить на бумаге расчеты, которые до этого было невозможно произвести даже на компьютере».
Диаграммы Венна
Вы, возможно, уже знакомы с диаграммами, подобными той, которую я продемонстрировал в головоломке в начале этой главы. Это так называемые диаграммы Венна, действенное визуальное средство организации информации. Каждый круг обозначает некую концепцию, а области, в которых эти круги пересекаются или не пересекаются, – разные логические варианты взаимоотношений этих концепций. Возьмем, например, идею принадлежности числа к множествам а) простых чисел, б) чисел Фибоначчи и в) четных чисел. Мы можем распределить числа от 1 до 21 в соответствии с тем, каким из этих категорий они соответствуют.
Рис. 5.10. Диаграмма Венна простых чисел, чисел Фибоначчи и четных чисел
Диаграмма Венна – это удобный и наглядный способ представления разных возможностей. В данном случае из диаграммы видно, что число 2 – единственное четное простое число (поэтому математики любят шутить, что 2 – непростое простое число). Нет ни одного числа, которое было бы четным и простым, но не относилось к числам Фибоначчи.
Эти диаграммы называются именем английского математика Джона Венна, предложившего их в 1880 году в статье под названием «О диаграмматическом и механическом представлении тезисов и рассуждений» (On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings). Предполагалось, что диаграммы помогут понимать логический язык, который разрабатывал современник Венна Джордж Буль. Помимо них Венн занимался изготовлением «крикетных пушек» – автоматов, подающих мячи для тренировки отбивающих игроков. Однажды опробовать его машину попросили игроки приехавшей в Кембридж, где работал Венн, сборной Австралии по крикету. Они были несколько ошарашены, когда машина четыре раза подряд выбила из игры капитана команды. Но Венн считал более важным своим достижением диаграммы.
«Я сразу стал несколько увереннее работать над темами и книгами, которые я должен преподавать, – писал он. – Теперь я начинаю с диаграмматического приема, представляющего тезис в виде включающих и исключающих кругов. Разумеется, к тому времени этот прием не был новым, но он настолько явно отражал тот способ, которым любой рассматривающий тему с математической точки зрения попытался бы наглядно представить тезисы, что я почти сразу же пристрастился к нему».
Венн был прав: идея использования графических изображений для представления логических возможностей была не нова. Есть даже свидетельства того, что нечто подобное создал живший еще в XIII веке философ Раймунд Луллий. С помощью своих диаграмм он старался разобраться в связях между разными религиозными и философскими атрибутами. Они предназначались для применения в дебатах, целью которых было убедить мусульман перейти в христианскую веру при помощи логических рассуждений[84].
Но закрепилось за ними именно имя Венна. Чаще всего можно увидеть диаграммы, иллюстрирующие три разные категории. Это связано с тем, что такую диаграмму, по-видимому, проще всего начертить так, чтобы она учитывала все возможные варианты. Когда дело доходит до четырех разных категорий, становится гораздо труднее добиться, чтобы пересечения областей отражали все логические возможности. Например, следующая диаграмма недостаточно полна:
Рис. 5.11. Это не диаграмма Венна для четырех множеств
На ней нет области, соответствующей пересечению множеств А и D без пересечения с двумя остальными. Вместо нее нужна диаграмма такого рода:
Рис. 5.12. Диаграмма Венна для четырех множеств
В диаграмме Венна для семи множеств уже начинает теряться смысл диаграммы как средства, облегчающего понимание:
Рис. 5.13. Диаграмма Венна для семи множеств
Одна из самых любимых моих книг называется «Угадай мелодию по Венну» (Venn That Tune, 2008); ее написал Эндрю Винер, использовавший диаграммы Венна для кодирования названий песен. Он же был автором головоломки, приведенной в начале этой главы. Эта диаграмма обозначает песню «Застрял с тобой посередине» (Stuck in the Middle with You) британской группы Stealers Wheel, работающей в жанре фолк-рок.
Шорткат к шорткатам
Как представить сообщения или данные в виде изображения или диаграммы? В нашем распоряжении много разных жанров, которые могут открыть шорткат к пониманию. Простой график, иллюстрирующий зависимость прибылей компании от времен года. Столбчатая диаграмма, отслеживающая популярность разных блюд в кафе. Диаграмма Венна, объясняющая совпадения и различия мнений разных политических партий. Или же сетевая схема, подобная схеме лондонского метро, выявляющая те связи между идеями, которые не позволяют разглядеть слова.
Пит-стоп: Экономика
«Самый мощный инструмент в экономике – это не деньги и даже не алгебра. Это карандаш». С этих слов начинается книга Кейт Раворт «Экономика пончика» (Doughnut Economics, 2017), в которой она предлагает новую диаграмму, ставящую под вопрос экономический дискурс XX века. Это диаграмма в форме пончика.
Рис. 5.14. «Экономика пончика»
Я горячий поклонник книги Раворт, отчасти потому, что пончик (или тор, как мы называем эту форму в математике) – одно из моих самых любимых геометрических тел. Не только потому, что пончики вкусны, но и из-за чрезвычайно интересных математических аспектов его формы. Понимание связанной с ним арифметики было центральным элементом доказательства Великой теоремы Ферма. Понимание его топологии было жизненно важно для понимания того, какой может быть форма Вселенной. Но, как я узнал из книги Раворт, пончик к тому же является ключом к перевороту в экономике. Поэтому мне очень хотелось поговорить с ней о происхождении этой
