Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

Текучая вселенная

Еще до того, как Джон Гленн завершил орбитальный полет вокруг Земли, матанализ помог ему попасть на эту орбиту. Он ждал пуска на стартовой площадке, зная, что для преодоления гравитационного притяжения Земли корабль должен набрать определенную скорость, которую называют первой космической[87]. Но точное определение скорости космического аппарата в каждый момент его полета – задача непростая. Все непрерывно изменяется: масса корабля уменьшается по мере сгорания топлива, гравитационное притяжение ослабевает по мере удаления от Земли. Тяга реактивных двигателей состязается с гравитационным притяжением, и кажется, что все вместе образует совершенно неразрешимую головоломку. Но в том и состоит истинная сила математического анализа, что он позволяет видеть картину происходящего в невообразимо сложной системе изменяющихся переменных в любой момент времени.

А началось все с яблока, упавшего с дерева в саду принадлежавшей семье Ньютона усадьбы Вулсторп в графстве Линкольншир. Ньютон вернулся из Кембриджа в родной дом, когда началась эпидемия чумы. Кое для кого периоды изоляции во время пандемий, несомненно, бывали плодотворными. Утверждается, что именно когда театр «Глобус» закрылся на карантин, Шекспир закончил «Короля Лира». Сидя в саду, Ньютон пытался разобраться с задачей вычисления скорости падающего яблока в произвольной точке его пути от ветки до земли. Скорость равна отношению расстояния ко времени, которое занимает перемещение на это расстояние. Если скорость постоянна, все в порядке. Но проблема заключалась в том, что скорость непрерывно изменяется из-за гравитационного притяжения. Все измерения, которые проводил Ньютон, давали ему лишь среднюю скорость за период измерений.

Чтобы вычислять скорость с большей точностью, он мог использовать все меньшие временные интервалы. Но для определения точной скорости в любой момент нужно было взять бесконечно малый интервал. В пределе оказывалось, что расстояние нужно делить на нулевое время. Но как делить на 0? Эту операцию сделал осмысленной изобретенный Ньютоном математический анализ.

К тому времени Галилей уже открыл формулу, позволяющую установить, какое расстояние яблоко пролетает за любой временной промежуток. За t секунд падающее яблоко пролетает 5t2 метров[88]. Число 5 играет здесь роль меры гравитационного притяжения Земли. Для яблони, растущей на Луне, этот коэффициент был бы меньше, потому что лунная сила тяжести меньше земной, и яблоко падало бы медленнее. Космическому аппарату Гленна нужно было учитывать изменения этого числа по мере удаления от Земли.

Возьмем яблоко и подбросим его вертикально вверх. Предположим, я бросил его со скоростью 25 метров в секунду. У бейсболистов, подающих мячи, скорость броска может превышать 40 метров в секунду, так что моя цифра не выходит за пределы разумного. Теперь высота положения яблока после броска определяется по формуле 25t – 5t2.

При помощи этой формулы я могу рассчитать, через какое время яблоко снова долетит до моей руки, то есть его высота над моей рукой, равная 25t – 5t2, опять станет равной 0. Если подставить в формулу t = 5, получим 0. Значит, суммарная длительность полета яблока вверх и вниз равна 5 секундам.

Но Ньютон хотел найти способ узнавать, какова скорость полета яблока в каждой точке его траектории. Однако эта скорость непрерывно изменяется, так как яблоко сперва замедляется, а затем снова ускоряется.

Попробуем вычислить при помощи нашей формулы – отношения пройденного расстояния ко времени, за которое это расстояние было пройдено, – скорость через 3 секунды. Итак, расстояние, которое пролетает яблоко между 3-й и 4-й секундами, равно

(25 × 4 – 5 × 42) – (25 × 3 – 5 × 32) = 20 – 30 = –10 м.

Минус показывает, что яблоко летит в направлении, противоположном тому, в котором я его бросил. Оно уже падает вниз. Таким образом, средняя скорость за этот период равна 10 метрам в секунду. Но это лишь средняя скорость за интервал длительностью в одну секунду. Она не равна действительной скорости яблока через 3 секунды после броска. Может быть, попробовать взять меньший интервал? Если делать этот интервал все меньше, оказывается, что скорость становится все ближе и ближе к 5 метрам в секунду. Но Ньютон хотел получить скорость моментальную, соответствующую нулевому временному промежутку. Его метод дал возможность понять, почему моментальная скорость через 3 секунды должна быть равна 5 метрам в секунду.

Рис. 6.2. График зависимости высоты полета яблока от времени. Средняя скорость между двумя значениями времени равна наклону прямой, проведенной через соответствующие точки графика

Скорость можно представить на графике зависимости пройденного расстояния от времени. Средняя скорость между 3-й и 4-й секундами – это наклон прямой, проведенной между двумя точками графика, соответствующими 3-й и 4-й секундам. Если уменьшать этот интервал, прямая будет приближаться к кривой, пока не попадет в положение, в котором она лишь касается ее в точке t = 3. Математический анализ Ньютона позволяет вычислить наклон (угловой коэффициент) прямой, касающейся кривой в этой точке. Такая прямая называется касательной к кривой. Математический анализ говорит нам, что в общем случае скорость (наклон касательной) в момент t вычисляется по формуле

25 – 10t

Вот почему это так: предположим, мы хотим вычислить скорость в момент t. Посмотрим, какое расстояние яблоко пролетит за малый промежуток времени после t, скажем, от момента t до момента t + d.

(25(t + d) – 5(t + d)2) – (25t – 5t2) = 25 t + 25d – 5t2 – 10td – 5d2 – 25t + 5t2 = 25 d – 10td – 5d2

Теперь разделим на величину временного интервала d:

Если взять чрезвычайно малую величину d, скорость будет равна

25 – 10t

Это выражение называется производной функции 25t – 5t2. Этот хитроумный алгоритм берет формулу расстояния, пройденного за некоторое время,