Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

максимальную площадь прямоугольника, ограниченного изгородью? На первый взгляд может показаться, что следует выбрать квадратную форму. Стремление к максимальной симметрии часто бывает правильной стратегией для обнаружения шортката к решению. Например, мыльный пузырь стремится к симметричной сферической форме, при которой содержащийся в нем воздух окружает поверхность наименьшей возможной площади. Но даст ли симметрия квадрата правильный ответ нашему доверенному советнику?

Есть очень простая формула зависимости площади участка от Х, переменной длины стороны. Поскольку длина участка вдоль берега равна 10 – 2Х, площадь участка А должна составлять

Х × (10 – 2Х) = 10Х – 2Х2.

Какое значение Х делает эту величину наибольшей? Можно, конечно, просто перебирать значения Х, пока нам не покажется, что мы нашли такое из них, которое делает площадь самой большой. Но это долгий путь к решению задачи. Ферма понял, что существует и другой, более легкий.

Рис. 6.3. График зависимости площади участка от длины одной из сторон. Площадь максимальна там, где горизонтальная прямая пересекает кривую в одной точке, а не в двух

Шорткат, который он нашел, состоял в преобразовании формулы площади в изображение. Построим график функции 10Х – 2Х2. На самом деле этот шорткат в итоге избавляет и от необходимости строить графики, но, чтобы найти шорткат, иногда приходится сначала идти в обход. График представляет собой кривую, сперва растущую от Х = 0 до пика, а затем спадающую до Х = 5, при котором площадь равна нулю. Самое главное – выяснить, где находится пик. Именно в этой точке площадь будет наибольшей. Какое же значение Х соответствует пику?

Проведем на графике горизонтальную прямую. В общем случае она пересекает кривую в двух точках – кроме самой вершины, в которой горизонтальная прямая лишь касается кривой в одной точке. Эту точку мы и ищем: это вершина графика, соответствующая самой большой площади. Ферма нашел способ определять эту точку, не строя графика. Оказалось, что оптимальную площадь участка дает значение Х = 2,5. Участок получился не квадратом, а прямоугольником, длинная сторона которого в два раза длиннее короткой. Если вы не боитесь алгебраических выкладок, вот вам более подробное изложение идеи Ферма.

Пусть Х = а. Тогда горизонтальная прямая, проведенная через эту точку, пересечет другую сторону кривой в некоторой точке X = b, в которой высота кривой такая же, как и в точке Х = а. Значит, это точка, в которой

10a – 2a2 = 10b – 2b2

Это равенство можно упростить при помощи некоторых алгебраических приемов. Перенесем все члены с квадратами в одну сторону:

2a2 – 2b2 = 10a – 10b

Но выражение с квадратами можно разложить на множители:

2(a – b)(a + b) = 10(a – b)

Разложить алгебраическое выражение на множители означает переписать его в виде произведения двух более простых выражений. В нашем случае речь идет о разности двух квадратов, которая попросту равна произведению (a – b) и (a + b). Но теперь видно, что обе части нового равенства содержат множитель (a – b). Его можно сократить с обеих сторон, и тогда мы получим

(a + b) = 5

Но Ферма интересовала та точка, в которой a и b равны, потому что именно она соответствует вершине кривой. В этой точке b = a. Подставив это в наше уравнение, получим

2a = 5

Точка, в которой находится вершина кривой, соответствует а, равному 2,5. Это длина стороны прямоугольника, дающего наибольшую площадь земельного участка. Следовательно, размеры прямоугольника – 2,5 на 5.

В приведенных выше вычислениях есть один интересный момент, касающийся деления на (a – b). С этой операцией все в порядке, кроме случая, когда a = b, в котором получается, что мы делим на 0, чего делать нельзя. Но погодите. Разве Ферма не хотел найти именно ту точку, в которой a = b? Как же с этим быть?

Для этого и нужен математический анализ. Он делает деление на 0 осмысленной операцией.

Мы видели математические операции, но где же математический анализ? Анализ позволяет получить наклон касательной к каждой точке кривой. Ферма понял, что максимум площади достигается в точке, в которой касательная горизонтальна. Это та точка, в которой наклон, то есть производная, равен нулю. Именно в этом заключается метод использования матанализа для поиска оптимальных значений функций: нужно найти точку, в которой производная функции равна нулю.

Кривая, описывающая площадь земельного участка, выглядит на удивление похоже на кривую, которую Ньютон построил для определения высоты полета своего яблока. Формула площади участка, 10Х – 2Х2, и формула удаления яблока от моей руки – 25t – 5t2, – это, по сути дела, одна и та же формула. Вторая получается из первой простым умножением на 2,5. В этом состоит один из великих шорткатов математики. Одно и то же уравнение может быть применимо ко множеству разных сценариев. В случае яблока точка, соответствующая наибольшей высоте его полета в воздухе, – это тот момент, когда скорость яблока становится нулевой и оно начинает лететь в противоположном направлении.

Но формулы такого рода могут описывать и многие другие вещи: энергопотребление, количество стройматериалов, длительность поездки. Появление метода, позволяющего найти наилучший способ максимизации или минимизации этих разнообразных величин, совершило настоящую революцию. Если формула дает зависимость прибыли компании от разных факторов, которые компания может регулировать, кому не захочется иметь средство, позволяющее настроить эти факторы так, чтобы получать наибольшую прибыль? Математический анализ – это шорткат к максимальной прибыльности.

Математика на стройке

Хотя математический анализ в первую очередь был создан, чтобы анализировать изменения, происходящие с миром во времени, он также полезен и для изучения изменений, происходящих вне времени. В частности, матанализ стал мощным средством для рассмотрения разных вариантов