Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

быть при движении точки влево и воздействии на нее положительного ускорения.

Слушатель: А «x» в каких единицах измеряется?

А.С.: Вопрос о единицах очень важный и правомерный. Можно измерять x в метрах, можно в километрах. В нашем случае х — доля радиуса — безразмерная величина. Решением уравнения, описывающего полет Алисы от падения в шахту и до достижения центра Земли, на самом деле служит обычный косинус.

Однако следует иметь в виду, что бывают задачи и с другими единицами измерения переменной «x».

Например, если «x» означает запас бензина в баке автомобиля (он изменяется с течением времени), то единицей измерения будет литр, а скорость расхода бензина будет тогда измеряться в литр/час. Но математики всё равно называли бы скорость расхода бензина «первой производной».

Вначале координата будет меняться медленно, потом Алиса будет набирать всё большую и большую скорость, ускорение же будет уменьшаться. Алиса сначала долетит до центра, а потом и до поверхности Земли с другой стороны (рис. 93), преодолевая нарастающую силу тяжести («возвращающую силу»), потом опять полетит обратно, и так до бесконечности.

Рис. 93. Вот так Алиса миновала центр Земли и долетела до Америки.

Так вот. Спрашивается, какая скорость в центре Земли? Скорость в центре Земли очень серьезная. Там много, много метров в секунду. (Вычисления с помощью косинуса показывают, что эта скорость (независимо от массы тела Алисы) составляет 7910 м/с.) Что же происходит с энергией в полете то туда, то обратно? Есть такой закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот. На поверхности Земли есть только потенциальная, в центре только кинетическая. В полете к центру Земли потенциальная энергия постепенно уменьшается, а кинетическая на такую же величину увеличивается.

Пока что мы обсуждаем особенности полета Алисы, не усложняя его появлением гномика, который толкнул Алису вперед в центре Земли.

Кинетическая энергия имеет формулу:

, где v скорость в данный момент.

Гном добавляет 1 м/с, то есть кинетическая энергия Алисы становится:

.

Это должно компенсироваться тем, что Алиса вылетит вверх на некоторую высоту, чтобы прибавка потенциальной энергии компенсировала убавку дополнительной кинетической энергии.

Потенциальная энергия записывается формулой Е = mgh.

При удалении от поверхности Земли g будет немного меняться по сравнению со значением 9,81, но не очень сильно.

Давайте посмотрим на разницу этих двух кинетических энергий.

— до прибавки в скорости, — увеличение энергии после прибавки.

Единицу мы, как водится, игнорируем, она очень маленькая, 2v остается. В итоге разница получается равной mv. Этой разнице и должна быть равна потенциальная энергия в точке максимального подъема Алисы на другой стороне Земли:

 mv = mgh.

Масса сокращается, то есть масса Алисы здесь никакого отношения к делу не имеет. Совсем, казалось бы, не важно, кого пнул гном. Однако следует отметить, что худенькой Алисе гному будет легче неожиданно придать лишний 1 м/с, чем увесистой Алисе. Впрочем, это проблемы гнома, а не наши с Алисой.

Остается формула: v = gh. То есть h равно v/g (если посчитать, получается 805 метров). Добавление 1 м/с в центре земли дает вылет вверх из дыры примерно на 800 метров.

А что говорит наша интуиция? Не нарушил ли наш гном закон сохранения энергии? Нет, не нарушил. Просто гному будет не так-то легко увеличить скорость Алисы на 1 м/с. Ему придется со страшной силой размахнуться кулаком, чтобы кулак приобрел скорость Алисы (7910 м/с) плюс еще 1 м/с. Мы бы с вами этого не смогли сделать. А гном, как существо волшебное, может!

Проверим задачу про звезды.

Первое, что надо осознать: те звезды, которые вы не видите летним днем из-за солнца, можно будет увидеть через полгода (зимней ночью). См. схему на рис. 94.

Рис. 94. Земля, не меняя наклона своей оси к плоскости эклиптики, вращается вокруг Солнца (справа на Земле — лето, и освещенное Солнцем северное полушарие не позволяет людям различить звезды; слева на Земле — зима, ночь). И справа, и слева ось Земли направлена в одну и ту же точку небесной сферы, поэтому видны одни и те же звезды. Важно, что расстояние между указанными двумя положениями Земли ничтожно мало по сравнению с расстоянием до ближайших (не считая Солнца) видимых на небе звезд.

Поэтому то, что вы видите во время затмения, вы уже видели полгода назад и увидите опять через полгода вперед (если этому не помешают тучи и т. п.).

Врезка 8. Кое-что о небесной сфере

Космос велик и необъятен. Ему, в общем-то, нет дела до ничтожной пылинки, называемой «планета Земля». Но на ней проживает многочисленное племя людей, которые в свободное от работы время не прочь поразмыслить над вопросами «что такое Космос» и «влияет ли Космос на жизнь человека». По поводу первого вопроса до сих пор спорят ученые — даже не смогли до сих пор понять, ограничен ли Космос по размерам, или не ограничен. А простые люди думают так: если и ограничен, то всё же он так велик, что его всё равно облететь нельзя. Так какое нам до этого дело? На второй вопрос многие люди склонны ответить так: наверное. Космос как-то влияет на жизнь людей — но гораздо меньше, чем курс доллара! Космос, конечно, может преподнести нам подарок в виде огромного метеорита, который сотрет жизнь на Земле — да ведь это когда еще будет! Может, в это время и долларов уже не будет.

Тем не менее было решено, что на всякий случай за Космосом надо следить с помощью специального воображаемого «телевизора» со сферическим экраном. Это и есть НЕБЕСНАЯ СФЕРА. Где же находится центр этой воображаемой сферы и чему равен ее радиус? Для ответа на этот вопрос надо понять, что же является самым важным для жизни человеческой цивилизации. Конечно же, «земная сфера», то есть поверхность Земли. Поэтому и центр небесной сферы был выбран в центре Земли, с учетом «земного эгоизма» людей. (Наверное, если бы земляне и марсиане жили бы в виде единой цивилизации, центр небесной сферы был бы выбран не в центре Земли, а в центре Солнца.) Что же касается радиуса небесной сферы, то его надо выбрать побольше (чтобы эта сфера находилась далеко от Земли), но не слишком большим (чтобы внутри этой сферы не оказались ближайшие (не считая Солнца) звезды). Конкретное же значение радиуса никого