Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

а уж тем более на Соловках, 64-й градус. Соловки и Мурманск симметричны относительно Полярного круга. Поэтому если 22 июня на Соловках можно просто читать газету в час ночи, то значит, что в Мурманске 22 декабря в час дня тоже можно будет читать газету, это будет то же самое состояние светового дня. Это надо понимать, потому что когда вам говорят, что там, в Норильске или Мурманске, никогда не светает в течение полугода, это сказки просто. Светает, каждый день, но солнце не восходит. А вот на Диксоне, да. В порту Диксон на широте 73,5 градусов состояние «22 декабря в час дня» почти такое же, как в Москве «22 июня в час ночи», то есть практически темно, поэтому уже в Диксоне, например, никакого вам не будет «рассвета» в течение пары месяцев подряд. Вот. Учтите это, когда будете планировать ваши путешествия. Все загадки отгаданы.

Слушатель: Нет. Не обсудили про качели.

Задача про качели.

Итак. Начнем с простого. Качели, которые устроены как палка и сидение (рис. 98). Какие у них устойчивые положения равновесия и почему?

Рис. 98. Почему эти качели не поддаются уравновешиванию?

Почему положение уравновешивания (рис. 99) не является устойчивым? Предположим, что качели чуть-чуть покачнулись от ветерка. Они перешли в следующее состояние: (рис. 99).

Рис. 99. Проследим-ка мы, что произошло с центром тяжести системы «доска+спинки».

Видно, что одно плечо рычага после поворота уменьшилось, а другое увеличилось. Поэтому качели наклонятся в сторону большего плеча. И это можно показать математически. Но не нужно. Это давным-давно уже сделано в механике, причем в виде общей и очень простой теоремы: чтобы жесткая система сохраняла равновесие, центр тяжести этой системы должен лежать ниже точки опоры.

А теперь рассмотрим ситуацию, когда у качелей вместо спинок есть держалки для ног (рис. 100).

Рис. 100. Центр тяжести ниже точки опоры.

Пусть опять подул ветерок, и качели наклонились. Опять изменились плечи, только увеличилось то плечо, которое сверху. Поэтому качели потянет вниз, обратно к горизонтальному состоянию равновесия. А дело в том, что теперь центр тяжести НИЖЕ точки опоры (сами поймите, почему).

Но самое интересное, почему качели без спинки и подножки всё равно находятся в наклоненном виде? Здесь и без теоремы ясно.

Дело в том, что у доски есть толщина. И когда качели наклоняются, одно плечо получается на маленький треугольничек больше, чем другое (см. рис. 101).

Рис. 101. Центр тяжести доски понизился.

Он-то и перевешивает качели в сторону.

* * *

А теперь — нерешенные проблемы школьной математики. Но прежде я хочу рассказать о том, как мыслят математики, как они решают задачи. Есть такой английский принцип: «Think out of the box», то есть «Подумай, не выглянуть ли за пределы исходного ящика». Давайте посмотрим, как он работает.

Задача:

На плоскости даны три различные по радиусам окружности, не пересекающиеся друг с другом. К каждой паре окружностей проведена пара внешних касательных, и отмечена точка их пересечения (см. рис. 102). Лежат ли три отмеченных точки на одной прямой?

Рис. 102. Рисунок-шутка. (Из-за нарочито небрежно нарисованных пар касательных читателю пытаются внушить НЕВЕРНЫЙ вывод о том, лежат ли точки пересечения пар касательных на одной прямой).

ОТВЕТ: точки пересечения касательных лежат на одной прямой.

А как же быть с рис. 102? Он что, нас обманывает? Да!!! С рисунками это часто бывает. Поэтому делать выводы надо не после беглого взгляда на рисунок, а после строгого математического доказательства (или строгого опровержения).

Доказательство состоит в следующем. Рассмотрим три полусферы, которые пересекаются нашей плоскостью по своим большим окружностям. Представьте себе 3 сферических купола большого, среднего и малого радиуса.

Эти 3 сферы сверху накрываются постепенно опускающейся вниз горизонтальной плоскостью, пока не произойдет касание самого большого купола. (Такая плоскость ровно одна.) Теперь (глядя на рис. 102 и мысленно выходя за пределы исходной плоскости) будем «вертеть» получившуюся плоскость до тех пор, пока она, оставаясь касательной к большому куполу, не коснется среднего купола; затем вертим ее дальше (не теряя точек касания с большим и средним куполом), пока она не коснется малого купола. Такая «трижды касательная плоскость» уже ровно одна (здесь надо предполагать, что центры окружностей не лежат на одной прямой). Так вот. После очень простых соображений становится очевидно, что наши отмеченные точки лежат в этой новой плоскости.

(ПОЯСНЕНИЕ. Считая, что рис. 102 нарисован не на плоскости, а в пространстве, содержащем исходную плоскость, представьте себе, что вместо пары внешних касательных мы нарисовали конус, внутри которого «спрятались» касающиеся этого конуса сферы. Таких конусов будет ТРИ. Вершина каждого из них находится (как нам подсказывает «пространственное воображение») как раз там, где находятся отмеченные в условии задачи точки.)

Но отмеченные точки также лежат и в исходной плоскости. Значит, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей. Теорема доказана.

Я сейчас пояснил, как думают математики. Это задача никаким простым методом не решается без выхода в пространство. Выход в пространство решает ее в один ход. Так происходит с математикой. Идея — выйти за пределы того, что у вас дано. Математика — это выход за пределы. Все великие открытия, все великие доказательства связаны с покиданием пределов изученного, пределов данного и требуемого в задаче.

Нерешенные математические проблемы

Самая старая — из известных мне — нерешенная математическая проблема. Говорят, был такой в Сиракузах царь или вельможа, который занимался странным видом деятельности[25]. Он брал натуральное число. Если оно было четное, он делил его на 2, пока оно не станет нечетным. Например, если это было число 12, оно превращалось в 3.

12 → 6 → 3.

А вот когда оно становилось нечетным, он умножал его на 3 и прибавлял единицу. То есть 3 он превратил бы в число 10. А 10? Сначала в 5, потом в 16. 16 в 8, 4, 2, 1 и в итоге в 4.

12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4.

Как видите, мы сейчас пришли к циклу:

4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1…

Давайте возьмем еще какое-нибудь число. Скажем, 13 возьмем.

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4.

Опять начинается такой же цикл.