Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Рис. 95. Поверхность Земли с указанием экватора и Северного полюса (нижняя часть рисунка). Вертикальные линии — образующие бесконечной в обе стороны цилиндрической поверхности. Для удобства восприятия верхняя часть цилиндрической поверхности срезана горизонтальной плоскостью (верхняя линия — край среза). Отдельная точка — это Северный полюс. Через него проведена горизонтальная плоскость, касающаяся Земли. Эта плоскость схематически изображена в виде параллелограмма.

Рис. 95 показывает, какие звезды увидят наблюдатели, находящиеся на широте 0 градусов (экватор) и на широте 90 градусов (полюс), если они будут в течение 24 часов наблюдать звездное небо (то есть пока Земля совершит полный оборот). Понятно, что в дневное время свет Солнца помешает видеть звезды (а если случится полное солнечное затмение, то всё же увидят). Но есть такие участки звездного неба, которые наблюдатель в принципе не сможет увидеть. Например, наблюдатель на экваторе не увидит (ни в какое время суток) тех звезд на небесной сфере, которые лежат внутри цилиндрической поверхности[24]. (Половина невидимых звезд лежит «выше северного полюса», другая же половина «ниже южного».) Наблюдатель же, находящийся на Северном полюсе, не увидит (ни в какое время суток) звезд «нижней половины небесной сферы». Но зато звезды «верхней половины» он увидит не постепенно в течении 24 часов, а все СРАЗУ. Дело в том, что горизонтальная касательная плоскость на рис. 95 по мере вращения Земли хотя и будет поворачиваться, но она всё время будет совпадать сама с собой. Если мы рассмотрим только наблюдателей из северного полушария, то можно сформулировать такое достаточно простое правило:

«Видно всё, кроме внутренности конуса». Чем ближе к северу находится наблюдатель, тем более «плоский» получается конус, и тем меньше звезд видно. Чем ближе к экватору он находится, тем более «острый» получается конус (а на экваторе его вершина оказывается удаленной до бесконечности; на полюсе же его вершина совпадает с самим полюсом). См. рис. 96.

Рис. 96. Широта Москвы (56 град.) меньше широты Петербурга (60 град.), поэтому коническая поверхность, внутри которой располагаются невидимые звезды, для Москвы имеет более значительную высоту над полюсом, но угол расхождения левого и правого луча из вершины меньше, чем для Петербурга. Поэтому из Москвы видно больше звезд (если наблюдение вести 24 часа). (Рекомендуем мысленно вращать этот рисунок относительно оси симметрии — пунктирная линия образует тогда северное полушарие Земли, а сплошные — «конусы невидимости».)

Поэтому из Санкт-Петербурга видно меньше звезд, чем из Москвы (рис. 97). А на экваторе не видно ни Полярной звезды, ни Южного Креста (да и соседних с ними звезд тоже не видно). Однако последнее утверждение является схоластическим. Чтобы понять это, представьте себе, что цилиндрическая поверхность, изображенная на рис. 95, продолжена вверх до пересечения с небесной сферой. Тогда на этой сфере получится линия пересечения в виде окружности, радиус которой примерно равен 6400 километров (радиусу Земли). А радиус небесной сферы, как указано выше, примерно равен расстоянию до ближайшей звезды (не считая Солнца). Это расстояние неизмеримо больше, чем 6400 км. Так что даже с помощью самого мощного современного телескопа будет проблематичным понять, какие же звезды попали в «область невидимости» для экваториального наблюдателя!

Рис. 97. Семейство прямых, касательных к меридианам.

Задача про 22 мая.

В формулировке задачи упоминаются такие известные даты, как «летнее солнцестояние» (22 июня) и «зимнее солнцестояние» (22 декабря). Здесь уже без Солнца никуда! В этом случае, казалось бы, надо использовать гелиоцентрическую модель Коперника, но вполне работает и модель Птолемея, в которой Солнце вращается вокруг Земли. В этой модели, как объяснено во врезке, Земля преспокойно стоит на месте, несмотря на возмущение других миров, населенных мыслящими существами (согласно пословице «Вся рота шагает не в ногу, один поручик в ногу»).

Что же происходит в нашей земной системе координат? В зависимости от времени года солнце всходит и заходит в разное время. Но восходит/заходит оно под разным углом, поэтому меняется скорость восхода и заката. Когда наступает темнота? Когда Солнце достаточно низко «залегает» под уровнем горизонта. (ПОЯСНЕНИЕ. В этом месте, в астрономию вмешиваются… государственные законы. Надо дать юридическое определение, что такое «сумерки». Ведь с наступлением сумерек государство должно потратиться на освещение объектов цивилизации. Вот и появились на свете два вида сумерек: «гражданские сумерки», начинающиеся с глубины залегания Солнца в 6 градусов, и «астрономические сумерки», когда на небе можно различить практически все видимые звезды, начинающиеся с глубины в 18 градусов.) В дни равноденствия Солнце уходит под крутым углом к линии горизонта, поэтому темнеет очень быстро. А в дни солнцестояния угол, под которым заходит солнце, оказывается гораздо более пологим, поэтому темнеет и светает медленно.

В высоких широтах северного полушария (равно как и в низких широтах южного) заметен эффект, который можно назвать «фальшивыми сумерками» — или, более поэтично, «белыми ночами».

Солнце начинает нисходить за горизонт под малым углом, но очень быстро выходит на угол еще меньший, чтобы «успеть быстро выскочить обратно», ибо широта этого места такова, что еще немного, и начнется сплошной полярный день, без всяких сумерек. В итоге еще не кончились вечерние сумерки, как пора уже готовиться к рассвету. Как это было у Пушкина: «Одна заря сменить другую // Спешит, дав ночи полчаса…» И что же получается? Не только не достигнута «глубина залегания Солнца» в 18 градусов (астрономические сумерки), но и даже не дотянули до 6 градусов (гражданские сумерки). Значит, градоначальник не включит освещение, и придется нам уподобиться тому же Пушкину («когда я в комнате моей пишу, читаю без лампады…»). Вот в Питере уже заметен этот эффект — там просто никогда не темнеет до конца. Даже вот это расстояние до Полярного круга (это расстояние примерно 7 градусов в Питере) — оно такое, что не темнеет просто, да и всё тут! 7 градусов под горизонтом позволяет получать от спрятавшегося Солнца вполне достаточную подсветку. Ведь Питер — это 60-я параллель, а 66° и 33 минут (66,5622°) — это Полярный круг, где уже светло, где Солнце 22 июня просто сияет круглые сутки. Из этого, в частности, следует, что в Мурманске на самом деле зимой немного светает, потому что 69-я параллель отличается от 67-й всего на 2 с лишним градуса, поэтому на самом деле зимой в Мурманске в 3 или 4 часа вполне себе светло, просто Солнца нет. Потому что если бы там было темно, то тем более было бы темно ночью в Петербурге летом. Но это ведь не так. Летом в Петербурге достаточно светло,