Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

увидит, что в точке «зенита» находится Полярная звезда? ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) Он увидит там центр созвездия «Южный крест»; 2) В течение ночи он увидит в этой точке разные звезды; 3) Полярная звезда находится близко к зениту, но не совпадает с ним; 4) Так как радиус небесной сферы не определен, а расстояние до Полярной звезды (в принципе) определено, то этот вопрос бессмысленный.

На самом деле, для решения этой задачи правильной моделью является одинокая (то есть без Солнца и планет) Земля в черном страшном Космосе, которая вертится вокруг своей оси. Людям, глядящим ночью на небо, кажется, что Земля стоит на месте, а всё звездное (видимое им) небо медленно вращается в противоположную сторону вокруг Полярной звезды. (Пока, в «наше» время. Через тысячу лет определять центр вращения будет другая звезда.) Вопрос: что и откуда видно этим наблюдающим людям? Ответ: Петербург отличается от Москвы северной координатой широты. Остальные координаты (долгота) в данном случае нам не важны. Чтобы понять, кто видит на небе больше звезд (москвичи или петербуржцы), рассмотрим сначала наблюдение из двух особенных точек: с экваториальной точки (любой из этих точек) и с Северного полюса. Что видно с Северного полюса? Краткий ответ: только то, что «сверху». Но где же в Космосе верх, и где низ? Сразу для всего Космоса вряд ли можно разумно ответить на этот вопрос. Но любой конкретный наблюдатель Земли прекрасно ответит на него: «То, что у меня под ногами — это “низ”. А остальное — это “верх”. Я сейчас стою на плоскости, отделяющей верх от низа, и потому я вижу звезды только половины небесной сферы». Человек, имеющий чисто математическое образование, не умеряемое здравым смыслом физика (или астронома), сразу же запальчиво возразит этому неучу (по его мнению): «Никакая это не плоскость, а сферическая поверхность, и на ней только мысленно можно пририсовать касательную плоскость, именно в той точке, где стоит этот неуч». — «А вот и нет!» — очень разумно ответит «неуч»: «Я вижу только кусок этой поверхности от моих ног и до горизонта. А горизонт примерно в 4 километрах от меня, поэтому видимый мною кусок сильно похож на плоскость — ведь 4 км очень мало по сравнению с 6400 км (то есть с радиусом Земли). И эта плоскость сильно мешает мне увидеть звезды на второй половине небесной сферы». И в этом он будет абсолютно прав. Короче говоря, если мы хотим понять, какую часть небесной сферы (с мерцающими на ней звездами) видит тот или иной земной наблюдатель, надо через подошвы этого наблюдателя провести плоскость, касательную к земной поверхности. Она разделит небесную сферу на две равные части. Он видит ту, которая у него над головой. Если бы старушка-Земля была прозрачной, он бы увидел у себя под ногами и вторую часть. Если бы этот наблюдатель внезапно вырос бы до размеров… ну, скажем, Джомолунгмы, он бы увидел, что под ногами у него не плоскость, а часть земной сферы, и она, искривляясь, мешает ему увидеть целиком всю небесную сферу. Однако при этом он, конечно, видел бы БОЛЬШЕ ПОЛОВИНЫ поверхности небесной сферы, а меньшая ее часть была бы ему не видима. А если бы он и еще «немножко» подрос — чтобы его рост «хотя бы» стал равен расстоянию до ближайших звезд, — тогда бы он смог наблюдать почти все звезды небесной сферы (маленькая старушка-Земля у него под правым каблуком почти не мешала бы ему изучать звёзды). Но мы, земные люди, не могли бы быть такими гигантами — нас бы раздавила наша собственная тяжесть. Поэтому человеку надо быть очень скромным и считать себя маленькой незаметной точечкой по сравнению с земным шаром. Однако по поводу сказанного выше можно было бы задать два коварных вопроса. Я лучше их сам сразу сформулирую. 1) Допустим, на Земле не было бы гор и океанов. Тогда люди жили бы во всех местах земной сферы. И по ночам наблюдали бы небо. Так что же, в этом случае всю Землю пришлось бы покрыть касательными плоскостями? ОТВЕТ: представьте себе, именно так и делают настоящие математики. И то, что получается, у них даже носит специальное название: «касательное расслоение для сферы». И потом успешно изучают полученный объект. 2) Стоп. Только что было сказано, что для каждого наблюдателя видна ровно половина звезд небесной сферы. А вот и нет. Давайте возьмем двух диаметрально противоположных наблюдателей Земли. Для каждого из них проведем касательную плоскость. Ведь эти две плоскости будут параллельны? А две параллельные плоскости делят пространство, в котором мы живем, на три части. Как же может каждый из двух этих наблюдателей видеть половину небесной сферы? Каждый из них должен видеть меньше половины! ОТВЕТ: «с точки зрения звезд» не только человек является ничтожной точкой, но и даже Земля — ничтожная точка. И с их точки зрения зазор между двумя параллельными плоскостями (равный диаметру Земли) пренебрежимо мал. То есть вместо двух плоскостей они «видят» как бы одну слившуюся плоскость. И если какая-то звезда окажется на этой плоскости, она погоды не делает. Умные математики в таких случаях любят говорить что-нибудь успокоительное, типа: множество этих звезд имеет меру нуль. Ситуация тут примерно такая, как при сравнении между собой двух чисел: 1000000,098 и 999999,978. Ну да, первое число чуть-чуть больше второго, но с точки зрения физика можно (и нужно) пренебречь этой разницей и сказать, что эксперимент с высокой точностью подтвердил их совпадение. А не совпали они полностью потому, что во время земных измерений кто-то неожиданно чихнул на Марсе…

Итак, каждый человек в любой момент времени видит звезды только половины небесной сферы. Другая половина не видна, ее загораживает Земля (хотя она вовсе не занимает половины пространства). Фактически, модель ситуации (при наблюдении из космоса) такая. Вы прижимаете к Земле плоскость в любой точке — хотите, в Москве, хотите — в Питере, и наблюдаете ее полный оборот вместе с Землей. В этой плоскости отметим прямую, касательную к меридиану в выбранной точке. В процессе поворота Земли вокруг полярной оси эта прямая опишет поверхность некоторого конуса, которого в каждый момент касается плоскость (оставаясь при этом касательной и к поверхности Земли — потому что Земля оказывается вписанной в этот конус). Вот теперь мы, наконец-то, добрались до изучения двух особых наблюдателей: экваториального и полярного (см. рис. 95). А там, глядишь, и с точкой «Москва», и с точкой «Петербург» станет ситуация понятной. Они же ведь точки по сравнению с Землей, правда?