Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Получается минимум, который команды могли набрать вместе: не 24, а 29 (ибо пять матчей с победами принесли 15 очков, а остальные 7 матчей — не меньше 14 очков). Значит у четвертой команды минимум 29 − 9 = 20 баллов. 20 > 18, где 18 — максимально возможное количество баллов. Противоречие.

Другой вопрос, так сказать, «обратный» к первому. С каким максимальным количеством очков можно не выйти из группы в следующий раунд?

Слушатель: 12.

А.С.: Да. И как должна быть устроена таблица? Одна команда (скажем, команда D) всем проиграла — 0 очков. Остальные 3 команды выигрывали по кругу: А у В, В у С, С у А. Тогда у трех команд будет по 12 очков. И одна из них должна будет покинуть чемпионат.

Почему нельзя не выйти в следующий этап с 13 очками? Предположим, что вы набрали 13 или больше очков, почему вы точно знаете, что вы вышли в следующий этап?

Подсказка. Если бы кто-то с 13 баллами не вышел, то две команды, которые вышли, имели бы не меньше, чем 13.

Теперь поговорим о том, с какой горы на сколько километров видно.

Я залез на Хибинские горы, могу ли я видеть Мурманск, который находится на расстоянии 100 км от гор? Ответ: на самом горизонте — смогу (если сопки около Мурманска не помешают).

Сейчас мы получим точную формулу для максимальной видимости.

Уже первые шаги вверх от земли сразу дают очень большую видимость.

С поверхности ничего не видно. Ноль, он и есть ноль. Горизонт стянулся в точку. Чуть-чуть выше нуля поднялись, на 10 сантиметров, и сразу видно примерно на километр (это если Земля — идеальный шар). Обозначим высоту горы за h. Расстояние до центра земли обозначим за R и 6400 км. Эта числовая величина нам также пригодится, когда мы будем решать задачу про Алису.

Посмотрим на рис. 88. Я хочу знать, чему равно L, то есть на сколько километров видно? Здесь есть одна тонкость.

Рис. 88. Земля в разрезе. Расстояние от центра до вершины горы R + h, расстояние от центра до точки касания R. Через L обозначено расстояние от вершины до точки касания.

Вдали будет горизонт. А вот если с другой стороны (за горизонтом) имеется такая же гора высоты h, то ее видно вдвое дальше. А если там гора высоты h/2 то всё равно гораздо дальше, чем просто до горизонта (рис. 89).

Рис. 89. «Взгляд за горизонт».

Один раз при мне на Байкале видный ученый совершил детскую ошибку. Он сказал: «Мы никак не можем видеть горы, которые находятся в районе Улан-Удэ. Не можем, потому что…» — и дальше привел вычисления по формуле, которую мы сейчас выведем. Я говорю: «Ты не учитываешь, что мы сами сейчас не на Байкале, а на сильном возвышении». — «О…». — говорит: «Конечно, это всё удваивает». На Байкале очень здорово наблюдать, что Земля круглая. Племена, которые жили на Байкале, наверняка издавна знали, что Земля круглая.

Помните теорему Пифагора? У нас образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой R + h и катетами R и L. Значит,

(R + h)2 = R2 + L2.

 Теперь раскроем скобки:

R2 + 2Rh + h2 = R2 + L2.

Страшная величина (квадрат радиуса Земли) сокращается, и остается:

L2 = h2 + 2Rh.

Здесь нужно быть не только математиком, но и физиком — для того, чтобы сказать, что h2, в общем-то, равно нулю.

Потому что по сравнению с двойным радиусом земли h2 очень маленькое число. Это вещи несопоставимые, в том смысле, что первая подавляюще больше, чем вторая. Поэтому, чтобы без лишних усилий оценить, на сколько километров видно, достаточно положить h2 = 0 и написать:

 L = √(2Rh).

Что здесь важно понимать? Что 2R величина постоянная, корень из нее равен 113. А если совсем грубо то просто 100.

Есть такая оценочная формула:

L = 100√h

√h — эта функция, которая сначала очень быстро возрастает, а после отхода от нуля увеличивается медленно (см. рис. 90).

Рис. 90. «О! Уже хорошо видно! А наших лыж что-то не видно…»

Чуть-чуть h отлично от нуля, прямо самую малость, а корень уже очень большой. Поэтому и получается, что вы чуть-чуть подняли голову от Земли и: «О! Уже хорошо видно!» Давайте немного покрутим эту формулу.

Вот при h = 1 км с Хибин видно на 100 км, а более точный результат — действительно — на 113 километров. 113 километров вполне достаточно, чтобы увидеть Мурманск с Хибинских гор.

Слушатель: То есть на один градус, а точнее, на 1,0128 градуса.

А.С.: Да, на один градус. С километра видно на 1 градус.

Другой слушатель: Вы схалтурили.

А.С.: Где?

Слушатель: Расстояние между Хибинами и Мурманском. Вы считаете по прямой. А на самом деле надо считать длину дуги.

А.С.: Да. Разница будет примерно одна сотая процента. Она почти равна нулю.

Слушатель: А при Джомолунгме?

А.С.: Будет примерно 10 или 15 метров[21]. Давайте еще что-нибудь пощупаем. Джомолунгма, какая высота?

Слушатель: 8848 метров.

А.С.: Да. 8848. Округлим до 9 километров.

h = 9, L = 300.

Заметьте, что вершина Джомолунгмы — это то, на какой высоте летит самолет, поэтому с самолета вы видите примерно на 300-350 километров. Если лететь из Петербурга в Москву, то, чисто теоретически, пролетая Бологое, можно увидеть и Москву, и Санкт-Петербург, правда, для этого самолет должен развернуться. Но если кто-то говорит, что он видел Ташкент, летя из Москвы в Питер, он вас обманывает.

Когда вы летите на «гагаринской высоте», на высоте 100 км, соответственно, вы видите на 1000 километров. С 40-метровой вышки видно на 20 километров. Что, конечно, довольно много.

А вышка в 10 метров даст обзор на 10 километров во все стороны. Вышка уменьшилась в 4 раза, а обзор в 2. Если увеличить вышку в 9 раз, обзор увеличится в 3 раза. Обратите внимание, не линейная зависимость, а корневая.

Переходим к Алисе.

Это — пример того, как не работает наша интуиция. Вот она иногда работает, а иногда… Сейчас я вам расскажу чисто физическую вещь. Итак, давайте сделаем следующее.

Рис. 91. Алиса начинает падать в шахту. Но не волнуйтесь, она не погибнет. Шахта ровная, проходит всю Землю