Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

поверить в эту теорему, то получается следующее. Если n делится, скажем, на 11, то n2 делится на 112, на 121. Значит, и m(m+1) делится на 112. Но 11 не может входить и в m, и в (m+1). Либо m делится на 11 в квадрате, либо (m + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если m(m + 1)/2 = n2, то либо m = а2 и (m + 1)/2 = b2 в случае если m — нечетное, а (m + 1) — четное, либо наоборот m + 1 = b2 и m/2 = а2 (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля x2 − 2у2 = 1.

В первом случае получаем:

m = а2 и (m + 1)/2 = b2  ⇒ m + 1 = 2b2,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а2 − 2b2 = − 1.

Во втором случае получаем:

m + 1 = b2 и m/2 = а2 ⇒ m = 2а2 ⇒ b2 − 2а2 = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля x2 − 2у2 = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно-треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить одновременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

412 − 2 · 292 = −1.

Следовательно

(m + 1)/2 = 292, m = 412, n2 = 292412, n = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда-нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, какую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (√2 + 1)2, хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получалось решение уравнения

x2 − 2у2 = 1?

Возвожу, например, в 4-ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)

Это классический бином Ньютона. Чтобы раскрыть все эти скобки, нам нужно каждый раз из каждой скобки взять либо √2, либо 1. Представьте себе, какие из этих операций дадут целое число, а какие будут давать число с корнем из двух. Во-первых, целое получается, если я отовсюду взял единичку. С другой стороны, если я из 2 скобок взял корень из двух, а из 2 единичку, тоже будет целое. Если я из 4 скобок возьму √2 — тоже целое. А вот если из 3 скобок взять или из одной, то получится число с корнем. И после того, как я сложу, у меня получится выражение вида m + n√2.

В m сидят все способы раскрытия скобки, где я беру с корнем четное число скобок, а все остальные разы единичку. А в n — все, в которых я взял с корнем нечетное количество скобок, а из остальных — единичку.

А теперь посмотрим на скобку с минусом. Получится то же самое, за одним исключением. Когда я возьму √2 нечетное число раз, у меня получится число с минусом. Таким образом, при перемножении получается знак минус ровно у тех слагаемых, которые кратны √2. Поэтому после того, как мы всё сложим, у нас получится m − n√2

А теперь давайте перемножим две наши строчки.

(m + n√2)(m − n√2) = m2 − 2n2.

Напоминает Уравнение Пелля, не правда ли?

Наконец, перемножим правые стороны уравнений. Я не зря вам тут про Гаусса рассказывал. От перестановки множителей ведь ничего не меняется. Поэтому я могу в моем произведении перемножать скобки в любом порядке. Перемножу их по столбцам:

Ну и тогда у нас получается после перемножения по столбцам

в ответе (−1)(−1)(−1)(−1).

А что получится, если (−1) умножается на себя много раз? 1 или (−1). То есть, когда мы будем возводить (1 + √2) в четную степень, будет (+1), а в нечетную (−1).

Но с другой стороны уравнения у нас стояло m2−2n2. Получаем m2 − 2n2 = ±1.

То есть мы доказали, что в любой степени (1 + √2)n порождает решение нашего уравнения Пелля.

Теперь несколько вопросов до следующей лекции.

* * *

1. Вы залезли на вершину Хибинских гор. Высота их примерно 1 км. И посмотрели вдаль. А там — дома. Вам померещилось, или это Мурманск? Могли ли вы увидеть Мурманск? На сколько километров вдаль можно увидеть с километровой горы? Обратите внимание, земля круглая, поэтому сильно далеко не увидишь. На сколько километров видно с Эвереста? С 20-этажного дома? Если кто-нибудь, например, говорит: «Я тут пролетал из Тбилиси в Дели и Москву на горизонте видел». Он врет или возможно такое? Это задача, которая возникает, когда вы идете в горы.

2. Вы стали астрономом. И наблюдали за звездами. Наблюдали, живя в городе Москве, а потом по семейным обстоятельствам перебрались в Санкт-Петербург. Вы обнаружили какие-нибудь новые звезды, которые из Москвы не видно? Как устроены между собой два множества звезд этих двух городов? (Множество звезд, которые видны из Петербурга, и множество звезд, которые видны из Москвы.) Случилось солнечное затмение. Летним днем в Москве стали видны звезды, которые никогда не видны летним днем в Москве. Это новые звезды, например, «Южный крест», или это те звезды, которые вы уже видели над Москвой?

3. Вы идете на лыжах 22 марта. Начинает темнеть, и вы вспоминаете, что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, и солнце зашло за горизонт, вы успели добежать до деревни Морозки до полной темноты. Вы идете в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки или нет? Тот же вопрос про 22 июня и 22 сентября (но уже вряд ли на лыжах). Когда быстрее всего наступает темнота после захода солнца, когда медленнее?

4. Вы подошли с вашей маленькой двухлетней дочкой к детской площадке. И обнаружили там некоторое количество качелей разного вида.

Картинка: качели, рассчитанные на двоих детей. Одни с ручкой для рук (см. рис. 83), другие с ручкой для ног (см. рис. 84). А также совсем простые качели