Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Рис. 109. Участок усиленного наблюдения.

И вот однажды сверху засекли шпиона (рис. 110).

Рис. 110. «Возле самой границы овраг. Может, в чаще скрывается враг!»

Требуется понять, где конкретно он находится на дороге. Из визуальных соображений ясно, между какими двумя КП находится шпион, но нам нужна точная координата. Мы видим только фотоснимок. Мы можем запросить некоторое количество информации, например, мы можем запросить координаты некоторых КП. Вопрос: сколько координат нам для этого достаточно запросить. Задача вполне практическая. Фотосъемка достаточно сложное преобразование, относящееся к проективным.

Что это такое? Давайте немного разберемся (см. рис. 111).

При фотографировании происходит перенос каждой точки местности вдоль лучей по направлению к точке съемки. Прямая, конечно, переходит в прямую при таком проецировании. Но вот соотношения отрезков-расстояний становятся другими.

Ясно, что одной координаты для определения местоположения недостаточно. Фокус в том, что двух координат тоже недостаточно.

Рис. 111. Схема аэрофотосъемки. Два четырехугольника — это область, снимаемая на фотопленку (внизу), и границы кадра фотопленки (вверху). Эти две плоскости, как правило, не параллельны друг другу. Из-за этого искажаются соотношения расстояний между точечными объектами. Прямая внизу — охраняемая дорога, на которой расположены три КП (достаточно далеко друг от друга). Черный кружок указывает на место обнаружения подозрительного точечного объекта. Пунктирные линии изображают отраженные лучи света, исходящие от точечных объектов на дороге и фиксируемые на кадре пленки.

А вот три координаты — в самый раз. Потому что у этого преобразования — у проецирования — есть то, что математики называют «инвариант».

Если вкратце сказать, «о чём» математика, то она о том, чтобы выявлять инвариантность ситуации. То есть какие-то соотношения, которые остаются неизменными. Вот вы так измерили (расстояния между КП), так сфотографировали, этак сфотографировали — некоторое соотношение координат точек на всех снимках будет одно и тоже. Я сейчас просто напишу, что остается неизменным. На самом деле это можно строго доказать.

На всех фотографиях, для любых фотоаппаратов неизменным остается так называемое двойное отношение «ДвОт» четырех точек (три из них — координаты КП, четвертая — координата подозреваемого в шпионаже). Оно выражается формулой

Рис. 112. Рассчитали число «z», и под кустом с такой координатой выловили подозрительного гражданина.

Если не знаешь, ни за что но угадаешь! Это число, которое можно взять и посчитать. Оно будет одинаковым и для местности, и для фотографии. Поэтому я запрошу координаты трех КП, потом вычислю соотношение на фотографии (на которой отражены и положения КП, и расположение неизвестного объекта), приравняю его к выражению с реальными координатами и точно определю реальную координату искомого объекта (а именно, число z).

Врезка 9. Как агент ДвОт ловит шпионов.

Обозначим через х, у, t координаты ближайших КП, в районе которых был замечен шпион.

Но тогда надо ответить на два вопроса: где находится начало отсчета, и какая будет единица измерения длины? Ответ: ЭТО НЕ ИГРАЕТ РОЛИ. В самом деле, двойное отношение координат (ДвОт) не изменится, если от всех четырех координат отнять одно и то же число; оно не изменится также, если все координаты умножить на одно и то же число. Поглядите на формулу ДвОт (формула (5)), и вы сразу поймете, почему это происходит. Итак, давайте запросим координаты точек х, у, t, измеренные в километрах до ближайшей погранзаставы. Допустим, они равны 17, 23, 32 соответственно. А как же мы найдем ДвОт, если «z» нам неизвестно? А вот так:

А теперь внимательно изучим кадр аэрофотосъемки, где были зарегистрированы три КП и один Ш (шпион). Их координаты будем выражать в миллиметрах, а первое КП будем считать началом отсчета (для простоты). Обозначим эти четыре координаты за А, Б, С, Д (где, как мы решили, А = 0). Прочие (ненулевые) координаты мы просто измеряем с помощью миллиметровой линейки, приложенной к фотоснимку. Допустим, мы получили числа (0, 13 мм, 16 мм, 31 мм). Следовательно, мы можем найти ДвОт уже не в виде формулы, а в виде числа:

Приравнивая буквенное выражение ДвОт к его числовому выражению, получаем уравнение первой степени для нахождения «z»:

Отсюда получаем z ≈ 24,4 км.

После чего агент ДвОт сообщает начальнику погранзаставы, что подозрительного человека имеет смысл поискать на расстоянии 24 км и 400 м от заставы. Где он и был найден спящим под кустом, чтобы, дождавшись ночи, начать свою деятельность.

Свойства ДвОт станут понятнее, если рассмотреть следующий пример (рис. 113).

Здесь производится «одномерная» фотосъемка линии ORST из точки К на «линию кадра» OMNL. Конечно, в реальной ситуации будет не линия, а плоскость кадра, и лежать она будет значительно ближе к точке К. Но суть дальнейшего исследования можно изложить и на таком условном рисунке.

Рис. 113. Изображен прямоугольный равнобедренный треугольник КОТ. Длина катета равна 4 единицы. Из прямого угла опущена высота OL на гипотенузу. Из верхней вершины треугольника К проведены две пунктирные линии KR и KS, делящие основание на отрезочки длиной 1, 1 и 2 ед. Основание треугольника лежит на плоскости, которую фотографирует самолет (рис. 111), вершина К — местоположение самолета, а высота OL лежит в плоскости, в которой находится кадр фотопленки (вторая плоскость случайно может оказаться параллельной первой; но гораздо чаще этого не случается). Точки пересечения линий KR и KS с высотой OL обозначены за М и N соответственно. Длины отрезков ОМ, MN, NK равны 6а, 4а, 5а соответственно, где а = (2√2)/15 (для полноты картины!).

Прежде всего отметим, что если бы линия кадра была параллельна фотографируемой линии, то соотношение расстояний между точками O, R, S, Т и точками O, М, N, L было бы одинаковым (и равным 1 : 1 : 2), и никакого «двойного отношения» нам бы не понадобилось.

В случае же, когда параллельности плоскостей нет, произойдет искажение этого соотношения.

Вычислим, насколько сильным оно будет. Уравнения прямых KR, KS легко получить по формуле «уравнение в отрезках»:

x/1 + y/4 = 1 (KR) и x/2 + y/4 = 1 (KS).[27] Уравнение же высоты и того проще — оно имеет вид «у = x».

Поэтому мы легко находим координаты точек M, N: М(4/5, 4/5) и N(4/3, 4/3), а