Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

также обычное тройное отношение отрезков ОМ : MN : NL = 6 : 4 : 5 (а не 1 : 1 : 2, как было «на местности»). Можно теперь ввести координаты на прямой OL таким образом, что точка М получит координату 6, точка N координату 10, а точка L координату 15. При этом поменяется масштаб, но он на двойное отношение четырех точек влияния не оказывает.

Теперь мы убедимся, что «ДвОты» для точек О, R, S, Т и для точек О, М, N, L будут СОВПАДАТЬ, несмотря на то, что обычные отношения для них не совпали.

В самом деле, для точек О, R, S, Т

Для точек же О, М, N, L

* * *

Теперь второй сюжет: построения циркулем и линейкой.

(В 11 классе я на экзамене по геометрии получил такое задание, что даже и циркулем пользоваться было нельзя. Третий сюжет, который мы рассмотрим, — это построение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Я расскажу про одну конкретную очень красивую задачу. Но об этом — ниже.)

Помните ли вы о построениях циркулем и линейкой? Построения циркулем и линейкой выводят на весьма сложные математические закономерности. Что мы умеем строить циркулем и линейкой? Можно, например, построить равнобедренный треугольник, если известны длина основания и длина боковой стороны.

Ну, скажем, основание 10 см, а боковые стороны — по 13 см. Линейкой проводим любую прямую, циркулем делаем на ней в любом месте засечку. Циркулем же измеряем основание (10 см) и делаем на прямой вторую засечку, предварительно установив иглу циркуля в первую. Берем раствор циркуля равным длине боковой стороны (13 см) и ставим иглу циркуля сначала на левый край основания, проводя достаточно длинную дугу в верхней полуплоскости, а затем на правый край (и проводим дугу до пересечения с первой дугой). Взяв линейку, соединяем точку пересечения дуг сначала с левой точкой основания, а потом с правой (см. рис. 114).

Рис. 114. Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки.

В общем, всё это быстрее сделать, чем описывать. Если Вы устали, вот вам задачка. Один школьник перепутал, что такое 10 см — основание или боковая сторона. И из-за этого построил не тот треугольник, что было нужно. Как вы думаете, что сильнее исказилось (в процентах) из-за рассеянности: площадь треугольника или его периметр? (Ответ: площадь изменилась больше, чем на 15 процентов, а периметр менее, чем на 10 процентов.)

Можно построить квадрат. А вот можно ли построить правильный пятиугольник с данной стороной? Это не очень просто. Но можно. Пифагорейцы уже умели строить правильный пятиугольник. Правильный шестиугольник построить совсем просто: строю окружность с радиусом, равным заданной стороне 6-угольника. Теперь делаю подряд 6 засечек на окружности окружностью того же радиуса. О чудо, шестая попадает прямо в то место, откуда мы начали. Так уж вышло! Далее прикладываем линейку к первым двум засечкам и проводим отрезок, их соединяющий. Потом то же делаем для следующих двух засечек, и т. д., пока не получим все 6 сторон шестиугольника (см. рис. 115). Итак, правильный шестиугольник построить просто. Треугольник — тривиально, квадрат — очень просто, пятиугольник сложно, но можно. Вопрос. Можно ли построить правильный семиугольник? Древние сломали миллион копий в спорах и потратили кучу часов, пытаясь решить эту задачу, но решена она была только в XIX веке!

Рис. 115. О, чудо! Шестая засечка совпала с первой вершиной!

На самом деле, кроме этой задачи, древние оставили нам еще три известные проблемы.

1. Трисекция угла. Дан какой-то угол на плоскости. Надо разделить его на три равные части. Знаменитая проблема древних; примерно в том же начале XIX века было доказано, что трисекция угла с помощью циркуля и линейки невозможна.

2. Квадратура круга. Что значит «квадратура круга»? Дан круг. Нужно построить квадрат с такой же площадью. Пусть радиус круга r равен единице, тогда его площадь S равна π (по формуле S = πr2). Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной √π. Эта задача эквивалентна задаче построения числа π, которая тоже была решена (в отрицательном смысле), но только в конце XIX века. Почему она была решена позже, чем другие задачи, оставленные нам древними? Потому что люди очень долго не понимали структуру числа π. В начале XIX века было доказано, что можно построить те и только те точки плоскости, у которых обе координаты могут быть получены из единицы за конечное число операций плюс, минус, умножить, разделить, взять квадратный корень. Берете единицу. Вам разрешается ее складывать с самой собой. Так получатся все натуральные числа. Если будете вычитать — все отрицательные. Рассмотрим дроби. Дроби математики называют специальным термином — рациональные числа. То есть это числа, которые представляются в виде «целое делить на целое». Например, число 2 — рациональное, так как может быть представлено, как 2/1 или 4/2. То есть все целые числа также являются рациональными. Давайте посмотрим, где будут жить точки «целое число пополам». Во-первых, будут жить в целых, потому что любое целое, это как бы «удвоенное целое пополам». Во-вторых, они будут жить посередине между соседними целыми (рис. 116).

Рис. 116. Изображение чисел вида m/n при n = 2. Если m четно, получаются целые числа (обозначены кружками). Все прочие числа такого вида изображены вертикальной черточкой.

А если я еще раз разделю пополам? Я могу нарисовать, где живут числа, полученные из целых делением на 3, на 5, на 1000 и т. д. Но удивительным фактом, который был известен уже древним, является то, что не все числа можно представить в виде дроби. Например, я построю квадрат со стороной 1 и возьму его диагональ. Ни одна обыкновенная дробь не равна длине диагонали квадрата. Заметьте, что число, равное диагонали квадрата, строится циркулем и линейкой (так как сам квадрат циркулем и линейкой мы построить можем).

Но оно не является рациональным числом. Это было помещено в первой части книги. То есть мы умеем теперь строить квадратные корни, потому что диагональ квадрата выражается квадратным корнем.

Любое рациональное число можно построить циркулем и линейкой. Давайте, например, построим −11/7. Знак минус просто означает, что число надо откладывать не вправо от нуля, а влево. Чтобы построить 11/7 достаточно построить 1/7 и отложить этот отрезок 11 раз. А чтобы построить 1/7, придется использовать очень удобную: теорему Фалеса (которая изучается