Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Рис. 124. На новой плоскости картина проясняется. Все пять прямых (здесь я провел обе касательные) теперь пересекаются в бесконечно удаленной точке (то есть, по-школьному, не пересекаются). Окружность превратилась в эллипс (а могла бы превратиться и в параболу; но нам этого не нужно). Точки касания находятся в самой верхней и в самой нижней точке эллипса. «Кресты» на этом рисунке стали симметричными, поэтому ясно, что их центральные точки, а также точки касания лежат на одной прямой. Значит, и прообразы этих точек лежали на одной прямой. Это и есть обоснование того метода решения, который я использовал в этой задаче.
Но свойство касания сохраняется при проектировании: раз прямая с эллипсом имеет одну точку пересечения, значит, на прообразе (то есть, на исходной плоскости) тоже должна быть одна общая точка. Следовательно, это точка касания. Теорема доказана.
Надо только выйти в пространство. Проектируете, превращаете в параллельный поток, и всё очевидно.
Почему же я не придумал в школе такое простое решение? Дело в том, что в 11 классе, в котором изучались проективные преобразования (а это — проективное преобразование), наша учительница литературы Зоя Александровна Блюмина решила набрать гуманитарный класс. Чем отличается гуманитарный класс от математического класса? Конечно же, количеством девушек. Понятно, что вся математика для 11 класса была отменена явочным порядком! Все бегали к гуманитарному классу, поболтать. Я всю проективную геометрию прогулял.
* * *
Давайте немножко разбавим проективную геометрию. В математике есть некоторое количество неожиданно прикольных задач! Они просто падают с неба. Я помню одну задачу, которую мне дали на олимпиаде в 7 классе. Задача про ученика, который сбежал с урока и плавает в круглом бассейне. Учитель его обнаружил в бассейне, подходит к границе бассейна с розгами в руках и говорит: «Я тебе сейчас всыплю. Сейчас ты только выйдешь из бассейна, и я тебе всыплю». А ученик отвечает: «Нет, Вы же не умеете по земле бегать быстрее меня. По земле я от Вас убегу». — «Конечно, ты от меня убежишь, но ты же где-то должен высадиться из воды на землю, правильно? Вот там-то я тебя и схвачу за шиворот и выпорю розгами». — «Ну да, если Вы сможете меня перехватить в момент, когда я буду вылезать из бассейна, то да. Я вылезу в таком месте, где Вас не будет». — «Нет, ничего у тебя не выйдет». — «Нет, выйдет».
Условия задачи следующие: по земле быстрее бегает ученик; а пока он в воде, его скорость V в четыре раза меньше скорости бега учителя W, т. е. V = W/4
Вопрос. Кто победит? Строгое решение, которое я придумал на олимпиаде, состоит в следующем. Нам дано, что скорость ученика в воде в четыре раза меньше скорости учителя на берегу. Давайте нарисуем окружность в четыре раза меньшего радиуса, чем бассейн. Ученик по этой окружности плывет ровно с такой же угловой скоростью, с которой учитель бегает по берегу (рис. 125).
Рис. 125. Учитель пыхтит, ученик плывет не торопясь.
Если я еще чуть-чуть уменьшу окружность, угловая скорость ученика будет больше угловой скорости учителя. Тогда через некоторое время можно добиться того, что учитель и ученик будут на противоположных сторонах (рис. 126).
Рис. 126. Вот так и спасся ученик. А если бы бассейн был квадратный?
В этот-то момент ученик и рванет к берегу. Ему надо проплыть 3/4 радиуса, а учителю пробежать π радиусов (так как это как раз длина полуокружности). Затраченное на это время равно 0,75/V = 4 · 0,75/W для ученика и π/W для учителя. Но 4 · 0,75 = 3 < π. Значит, ученик спасется.
Как, кстати, можно доказать, что π > 3? Если я докажу, значит, ученик сможет убежать. Что такое «пи»? Это длина половины окружности единичного радиуса. Как можно эту длину пощупать?
Был такой древний грек Евклид. Он сформулировал несколько принципов работы с геометрией — пять постулатов (то есть правил, справедливость которых очевидна). Вот четыре из них: 1) между двумя любыми точками можно провести прямую, 2) любую прямую можно неограниченно продолжать в любую сторону, 3) из любой точки любым радиусом можно нарисовать окружность, 4) все прямые углы равны. В формулировке употребляется слово «равенство». Несмотря на то, что оно так просто звучит, это — чрезвычайно сложная математическая концепция.
Первые двадцать восемь теорем книги Евклида «Начала» были сформулированы и доказаны только с использованием четырех постулатов. Он чувствовал, что с пятым постулатом что-то не так. Сейчас я его сформулирую: через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести, прямую, параллельную данной, и только одну. То есть прямую, которая не будет пересекать данную. У этого постулата длиннющая интереснейшая история.
Вернемся к числу π. Окружность — это кривая, соединяющая две точки. Так вот, по одной из аксиом Евклида, отрезок прямой, который соединяет две точки, короче любой кривой, их соединяющей. Рассмотрим вписанный шестиугольник. Каждая сторона правильного шестиугольника равна радиусу, то есть 1 (рис. 127).
Рис. 127. Почему π больше трех.
Он дает нижнюю оценку для числа π. Число π больше суммы трех сторон шестиугольника. А это как раз три. Так что ученик точно спасется от учителя-преследователя.
Чтобы точнее оценить значение π, достаточно привести в пример какой-нибудь правильный вписанный многоугольник, у которого сумма половины сторон еще больше, например, правильный 8-угольник. Сейчас мы найдем сумму его 4 сторон. Тогда само число π должно быть еще больше полученного значения.
Правильный 8-угольник, вписанный в круг радиуса 1, может быть разбит на 8 одинаковых равнобедренных треугольников с единичными боковыми сторонами и с углом 45° между ними. Отсюда легко подсчитать (с помощью так называемой «теоремы косинусов») что сторона этого 8-угольника имеет длину √(2-2√2). Значит, сумма четырех его сторон равна ≈ 3,0615. Следовательно, точное значение π превосходит 3,0615.
А для того, чтобы оценивать число π всё точнее и точнее, нужно «увеличивать число сторон до бесконечности».
Рассмотрим еще один пример бесконечности. Будем суммировать числа, обратные к квадратам натуральных чисел:
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... .
Эта сумма коночная по величине, но бесконечная но количеству слагаемых. (В отличие от суммы 1 + 1/2 +
