Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

1/3 + 1/4 + ..., которая неограниченно возрастает по величине по мере увеличения количества слагаемых.) В принципе, оба утверждения совершенно неочевидны, так как мы не знаем, каким правилам подчиняются суммы с неограниченным количеством слагаемых. Сейчас я докажу, что сумма обратных квадратов натуральных чисел не может превышать числа «2».

Рассмотрим квадрат со стороной 1. Его площадь также равна 1. Теперь рассмотрим квадрат со стороной 1/2, а площадью 1/4 (рис. 128). Площадь следующего квадрата со стороной 1/3 равна 1/9.

Рис. 128. Геометрический смысл исходной суммы.

Нам нужно слагаемое 1/9, но я возьму с запасом. Вместо квадрата со стороной 1/3 рассмотрю квадрат со стороной 1/2. И, значит, с площадью 1/4. Понятно, что если новая сумма будет конечной, то и исходная тоже должна быть конечной, потому что я увеличил третье слагаемое.

Что я сделаю дальше? 1/16, 1/25, 1/36, 1/49 все заменю на 1/16. От этого сумма опять увеличится. А что такое одна шестнадцатая? Это площадь квадрата со стороной 1/4. Получаем 4 квадратика, так как мы поменяли четыре прежних слагаемых на четыре раза по 1/16 (рис. 129).

Рис. 129. Геометрический смысл увеличенной суммы. Как известно, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1.

Следующие восемь слагаемых я заменю на 1/64. И они займут еще одну полосочку, вдвое меньшей ширины, чем предыдущая.

Следующие шестнадцать слагаемых — еще одна полосочка и так далее. Итоговая сумма вся, целиком, будет меньше, чем площадь двух изначальных квадратов. Потому что каждая следующая полосочка по ширине вдвое меньше предыдущей. Поэтому вся сумма не больше двух (рис. 129).

Но хотелось бы узнать, чему она на самом деле равна. Ее посчитал Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории человечества. Он выяснил, что сумма обратных квадратов равна π2/6 ≈ 1.6449. И доказал это с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Дифференциальное и интегральное исчисления совершают чудеса. Потому что дифференциальное и интегральное исчисления — это способ простого перешагивания через бесконечность. Как устроено доказательство? Примерно так: предположим, что сумма меньше π2/6. Тогда она меньше на некоторую величину. Но этого быть не может: мы можем взять так много членов этой суммы, что разница между ней и числом π2/6 была меньше любого наперед заданного числа, в том числе и этой величины. Про бесконечную сумму обычно показывают, что она не может быть больше какого-то числа по одним соображениям, и меньше — по другим. На самом деле в доказательстве используются намного более сложные соображения, связанные с математическим анализом, которые и показывают, что эта сумма в точности равна π2/6.

Другая потрясающая страница развития математики связана с пятым постулатом Евклида. Евклид сформулировал пять постулатов. Но многие теоремы он доказал, не используя пятого постулата. Из-за этого геометры стали думать, что пятый постулат на самом деле не постулат, а теорема, и он должен следовать из предыдущих четырех. С античных времен до середины XIX века ученые пытались доказать это. Сначала пытались вывести этот постулат из других, а потом пошли от противного: допустим, 5-й постулат НЕВЕРЕН. Что из этого будет следовать? Некоторых ученых интересовал вопрос: может быть, нам только кажется, что через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. А на самом деле, если рядом через эту же точку нарисовать еще одну прямую (почти неотличимую от первой), она тоже будет параллельна данной (только мы этого не можем разглядеть) (рис. 130).

Рис. 130. Этот пятый постулат дал им всем прикурить!

Значит, если так, то должна быть какая-то непротиворечивая геометрия, в которой пятый постулат будет заменен на альтернативный. Например, что через данную точку можно провести как минимум две прямые, не пересекающие исходную. И вот ученые начинают пытаться привести к логическому противоречию такое предположение. И каждый из них, обнаружив какие-то необычные следствия, говорит: ну а это уже полный абсурд. Например, пятый постулат эквивалентен утверждению, что сумма углов треугольника равна 180°. И, если пятый постулат неверен, то в такой геометрии не существует ни одного треугольника с суммой углов, равной 180°. Ну, это же абсурд! Значит, — говорили ученые, — всё доказано. Никто не замечал, что абсурд наступает исключительно из-за непривычности этих следствий, а не как логическое противоречие. Возьмите сферу и посмотрите, какая будет сумма углов у треугольника на сфере. Она всегда БОЛЬШЕ 180 градусов (нарисуйте треугольник на глобусе и убедитесь в этом! Только учтите, что «прямой» на глобусе является кратчайший путь, то есть «дуга большого круга»). Этот пример показывает, что логических противоречий в таком факте нет.

Следующий шаг работы математиков привел к эквивалентности пятого постулата и утверждения, что существует хотя бы два подобных, но не равных друг другу треугольника. Опять же, на сфере нет такого понятия, как «подобие фигур». Абсолютно нетривиальное утверждение про поверхность нашей планеты. Нарисуем два треугольника на поверхности земного шара, или на глобусе, например, треугольник Москва — Лондон — Иркутск и треугольник (Нью-Йорк) — (Лос-Анджелес) — (Рио-де-Жанейро). Если мы измерим углы у этих двух треугольников и, например, обнаружим, что они попарно равны друг другу, то и сами треугольники окажутся равными, то есть совмещающимися движением сферы — поворотом, отражением или их композицией[29]. А тогда и соответствующие стороны у них будут равными, то есть попарные расстояния между городами окажутся одинаковыми! (Разумеется в приведённоми выше примере это не так.)

Таким образом, на сфере (в частности, на поверхности Земли) справедлив Признак равенства треугольников по трем углам. Это можно доказать совершенно строго. (Почему же люди, — даже такие, как Евклид, — этого не замечали? Потому, что их жизненный геометрический опыт ограничивался наблюдением малых участков поверхности Земли — и они казались плоскими.) На сфере вообще много чудес. Например, на сфере, радиус которой равен 1, площадь треугольника равна сумме углов (в радианах) минус π. Вот такая вот теорема. Это всё очень красивые результаты сферической геометрии. То есть в «абы-как заданной геометрии» все привычные нам утверждения не обязательно верны. Была разработана целая наука, объединенными усилиями многих ученых было выведено двадцать утверждений, эквивалентных пятому постулату. Но никакого прямого (логического) противоречия в его отрицании не было. В начале XIX века Гауссу написал письмо венгерский математик Янош Бойяи. Он писал, что разработал геометрию без пятого постулата, не видит в ней никаких противоречий и спрашивал, что ему делать. А Гаусс ответил, что знает, что там нет противоречий, но сказать этого вслух нельзя,