Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Поиск оптимального f пo нормальному распределению

Сейчас мы разработаем метод поиска оптимального f по нормально распреде­ленным данным. Как и формула Келли, это способ относится к параметричес­ким методам. Однако он намного мощнее, так как формула Келли отражает только два возможных результата события, а этот метод позволяет получить полный спектр результатов (при условии, что результаты нормально распреде­лены). Удобство нормально распределенных результатов (кроме того факта, что в реальности они часто являются пределом многих других распределений) со­стоит в том, что их можно описать двумя параметрами. Формулы Келли дадут вам оптимальное f для бернуллиевых результатов, если известны два параметра: отношение выигрыша к проигрышу и вероятность выигрыша. Метод расчета оптимального f, о котором мы сейчас расскажем, также требует только два па­раметра — среднее значение и стандартное отклонение результатов. Вспомним, что нормальное распределение является непрерывным распреде­лением. Для того, чтобы использовать этот метод, необходимо дискретное рас­пределение. Далее вспомним, что нормальное распределение является неограни­ченным распределением. Первые два шага, которые мы должны сделать для нахождения оптимально­го f по нормально распределенным данным, — это определить, (1) на сколько сигма от среднего значения мы усекаем распределение и (2) на сколько равноот­стоящих точек данных мы разделим интервал между двумя крайними точками, найденными в (1). Например, мы знаем, что 99,73% всех точек данных находятся между плюс и минус 3 сигма от среднего, поэтому можно использовать 3 сигма в качестве пара­метра для (1). Другими словами, мы рассматриваем нормальное распределение только между минус 3 сигма и плюс 3 сигма от среднего значения. Таким образом, мы охватываем 99,73% всей активности в пределах нормального распределения. Вообще, для этого параметра лучше использовать значение от 3 до 5 сигма. Что касается числа равноотстоящих точек данных (шаг 2), мы будем использо­вать число, как минимум, в десять раз большее количества стандартных отклоне­ний, которое используется в (1). Если мы выберем 3 сигма для (1), тогда возьмем, по крайней мере, 30 равноотстоящих точек данных для (2). Это означает, что на горизонтальной оси следует отметить отрезок от минус 3 сигма до плюс 3 сигма и нанести на нем 30 равноотстоящих точек. Так как между минус 3 сигма и плюс 3 сигма находится 6 сигма и нам надо разместить на этом отрезке 30 равноотстоя­щих точек, мы должны разделить 6 на 30 - 1, или 29. Это даст нам 0,2068965517. Первой точкой данных будет минус 3. Затем мы будем добавлять 0,2068965517 к каждой предыдущей точке, пока не достигнем плюс 3. И так нанесем 30 равноот­стоящих точек данных между минус 3 и плюс 3. Нашей второй точкой данных бу­дет -3 + 0,2068965517 =-2,793103448, третьей точкой данных будет 2,79310344 + 0,2068965517 = -2,586206896, и так далее. Таким образом, мы зададим 30 точек на горизонтальной оси. Чем больше точек данных вы используете, тем лучше будет разрешение нормальной кривой. Использование количества точек в десять раз больше числа стандартных отклонений не является строгим правилом определения минимального числа точек данных. Нормальное распределение является не­прерывным распределением. Однако мы должны сделать его дискретным, что­бы по нему найти оптимальное f. Чем большее число равноотстоящих точек данных мы используем, тем ближе наша дискретная модель будет к реальному непрерывному распределению. Почему не следует использовать слишком большое число точек данных? Чем больше точек данных вы будете использо­вать в нормальной кривой, тем больше времени понадобится для поиска опти­мального f. Даже если вы будете использовать компьютер для поиска опти­мального f, при большом количестве точек данных расчет займет достаточно много времени. Более того, каждая дополнительная точка данных увеличивает разрешение в меньшей степени, чем предыдущая точка. Мы будем называть описанные выше два вводных параметра ограничивающими параметрами (bounding parameters). Третий и четвертый шаги позволят определить среднюю арифметическую сделку и стандартное отклонение для рыночной системы, с которой вы работае­те. Если у вас нет механической системы, можно получить эти числа из брокер­ских отчетов. Один из реальных плюсов рассматриваемого метода состоит в том, что для его использования не обязательно работать по механической системе, вам даже не нужны брокерские отчеты или торговые результаты в бумажной форме. Метод можно использовать, рассчитав два вводных параметра: среднюю арифметическую сделку (в пунктах или долларах) и стандартное отклонение сделок (в пунктах или долларах, в зависимости от того, что вы используете для средней арифметической сделки). Если стандартное отклонение сложно рассчитать, тогда просто попытайтесь понять, насколько, в среднем, сделка будет отличаться от средней сделки. Рассчи­тав среднее абсолютное отклонение, вы можете использовать уравнение (3.18) для преобразования оценочного среднего абсолютного отклонения в оценочное стандартное отклонение:

(3.18) S=M* 1/0,7978845609

=М* 1,253314137,

где S = стандартное отклонение;

М = среднее абсолютное отклонение.

Эти два параметра, среднее арифметическое средней сделки и стандартное откло­нение сделок, мы будем называть действительными вводными параметрами. Теперь нам надо взять все равноотстоящие точки данных из шага (2) и найти их соответствующие ценовые значения, основываясь на среднем арифметическом значении и стандартном отклонении. Вспомним, что наши равноотстоящие точ­ки данных выражены в стандартных единицах. Теперь для каждой из этих равно­отстоящих точек данных мы найдем соответствующую цену:

(3.27) D = U + (S * Е),

где D = ценовое значение, соответствующее значению стандартной единицы;

Е = значение стандартной единицы;

S = стандартное отклонение;

U= среднее арифметическое.

После того как мы определили все ценовые значения, соответствующие каждой точке данных, мы можем сказать, что сконструировали распределение, к которо­му, как ожидается, будут стремиться точки данных.

Однако данный метод позволяет сделать намного больше. Мы можем вклю­чить два дополнительных параметра, которые позволят нам рассмотреть типы сценариев «что если». Эти параметры, которые мы назовем параметрами «что если», позволяют увидеть влияние изменения нашей средней сделки, или измене­ния дисперсии (стандартного отклонения) сделок.

Первый из этих параметров, называемый сжатием (shrink), затрагивает среднюю сделку. Сжатие — это просто множитель нашей средней сделки. Вспомните, что когда мы находим оптимальное f, то попутно получаем другие величины, которые являются полезными побочными продуктами оптималь­ного f. Такие расчеты включают среднее геометрическое, TWR и среднюю гео­метрическую сделку. Сжатие является величиной, на которую мы умножаем среднюю сделку еще до того, как осуществляем поиск оптимального f. Следо­вательно, сжатие позволяет нам рассчитать оптимальное f для того случая, когда средняя сделка затронута сжатием, а также рассчитать новые побочные продукты. Предположим, вы торгуете в системе, которая в последнее время работала очень эффективно. Вы знаете, что рано или поздно система прекратит работать так же ус­пешно, поэтому хотите знать, что произойдет, если средняя сделка будет уменьшена наполовину. Используя значение сжатия 0,5 (так как сжатие является множителем, то средняя сделка, умноженная на 0,5, будет равна половине средней сделки), вы може­те найти оптимальное f, когда средняя сделка уменьшается наполовину. Вы сможете увидеть, как такие изменения затрагивают геометрическую среднюю сделку и другие величины. Используя значение сжатия 2, вы также сможете увидеть последствия уд­воения средней сделки. Другими словами, параметр сжатия может также использо­ваться для увеличения вашей средней сделки. Более того, он позволяет вам взять неприбыльную систему (то есть систему со средней сделкой меньше нуля) и, используя отрицательное значение сжатия, посмотреть, что произойдет, если эта система станет прибыльной. Допустим, у вас есть система, которая показывает среднюю сделку -100 долларов. Если вы будете использовать значение сжатия -0,5, то получите оптималь­ное f для этого распределения со средней сделкой 50 долларов, так как -100 * * -0,5 = 50. Если бы мы использовали фактор сжатия -2, то получили бы рас­пределение со средней сделкой 200 долларов. Следует крайне аккуратно исполь­зовать параметры «что если», так как они легко могут привести к неправильным результатам. Уже было упомянуто, что вы можете превратить систему с отрица­тельной арифметической средней сделкой в прибыльную систему. Это может привести к проблемам, если, например, в будущем, у вас по-прежнему будет от­рицательное ожидание. Другой параметр «что если» называется растяжением (stretch), но он не проти­воположен сжатию, как можно было бы подумать. Растяжение является множите­лем стандартного отклонения. Вы можете использовать этот параметр для опре­деления влияния разброса на f и его побочные продукты. Растяжение всегда дол­жно быть положительным числом, в то время как сжатие может быть положитель­ным или отрицательным (пока средняя сделка, умноженная на сжатие, имеет по­ложительное значение). Если вы хотите увидеть, что произойдет, когда ваше стандартное отклонение удвоится, просто используйте значение 2 для растяже­ния. Чтобы увидеть, что произойдет, если разброс уменьшится, используйте зна­чение меньше 1.При использовании этого метода вы заметите, что, когда растя­жение стремится к нулю, значения побочных продуктов увеличиваются, и, в ре­зультате, вы получаете более оптимистичную оценку будущего, и наоборот. Сжа­тие работает противоположным образом, так как при сжатии, стремящемся к нулю, мы получаем более пессимистичные оценки будущего, и наоборот. После того как мы зададим значения, которые будем использовать для растяжения и сжатия (сейчас и для одного, и для другого мы будем использовать единицу, то есть оставим действительные параметры без изменения), можно изменить урав­нение (3.27):