Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

U= среднее арифметическое.

После того как мы определили все ценовые значения, соответствующие каждой точке данных, мы можем сказать, что сконструировали распределение, к которо­му, как ожидается, будут стремиться точки данных.

Однако данный метод позволяет сделать намного больше. Мы можем вклю­чить два дополнительных параметра, которые позволят нам рассмотреть типы сценариев «что если». Эти параметры, которые мы назовем параметрами «что если», позволяют увидеть влияние изменения нашей средней сделки, или измене­ния дисперсии (стандартного отклонения) сделок.

Первый из этих параметров, называемый сжатием (shrink), затрагивает среднюю сделку. Сжатие — это просто множитель нашей средней сделки. Вспомните, что когда мы находим оптимальное f, то попутно получаем другие величины, которые являются полезными побочными продуктами оптималь­ного f. Такие расчеты включают среднее геометрическое, TWR и среднюю гео­метрическую сделку. Сжатие является величиной, на которую мы умножаем среднюю сделку еще до того, как осуществляем поиск оптимального f. Следо­вательно, сжатие позволяет нам рассчитать оптимальное f для того случая, когда средняя сделка затронута сжатием, а также рассчитать новые побочные продукты. Предположим, вы торгуете в системе, которая в последнее время работала очень эффективно. Вы знаете, что рано или поздно система прекратит работать так же ус­пешно, поэтому хотите знать, что произойдет, если средняя сделка будет уменьшена наполовину. Используя значение сжатия 0,5 (так как сжатие является множителем, то средняя сделка, умноженная на 0,5, будет равна половине средней сделки), вы може­те найти оптимальное f, когда средняя сделка уменьшается наполовину. Вы сможете увидеть, как такие изменения затрагивают геометрическую среднюю сделку и другие величины. Используя значение сжатия 2, вы также сможете увидеть последствия уд­воения средней сделки. Другими словами, параметр сжатия может также использо­ваться для увеличения вашей средней сделки. Более того, он позволяет вам взять неприбыльную систему (то есть систему со средней сделкой меньше нуля) и, используя отрицательное значение сжатия, посмотреть, что произойдет, если эта система станет прибыльной. Допустим, у вас есть система, которая показывает среднюю сделку -100 долларов. Если вы будете использовать значение сжатия -0,5, то получите оптималь­ное f для этого распределения со средней сделкой 50 долларов, так как -100 * * -0,5 = 50. Если бы мы использовали фактор сжатия -2, то получили бы рас­пределение со средней сделкой 200 долларов. Следует крайне аккуратно исполь­зовать параметры «что если», так как они легко могут привести к неправильным результатам. Уже было упомянуто, что вы можете превратить систему с отрица­тельной арифметической средней сделкой в прибыльную систему. Это может привести к проблемам, если, например, в будущем, у вас по-прежнему будет от­рицательное ожидание. Другой параметр «что если» называется растяжением (stretch), но он не проти­воположен сжатию, как можно было бы подумать. Растяжение является множите­лем стандартного отклонения. Вы можете использовать этот параметр для опре­деления влияния разброса на f и его побочные продукты. Растяжение всегда дол­жно быть положительным числом, в то время как сжатие может быть положитель­ным или отрицательным (пока средняя сделка, умноженная на сжатие, имеет по­ложительное значение). Если вы хотите увидеть, что произойдет, когда ваше стандартное отклонение удвоится, просто используйте значение 2 для растяже­ния. Чтобы увидеть, что произойдет, если разброс уменьшится, используйте зна­чение меньше 1.При использовании этого метода вы заметите, что, когда растя­жение стремится к нулю, значения побочных продуктов увеличиваются, и, в ре­зультате, вы получаете более оптимистичную оценку будущего, и наоборот. Сжа­тие работает противоположным образом, так как при сжатии, стремящемся к нулю, мы получаем более пессимистичные оценки будущего, и наоборот. После того как мы зададим значения, которые будем использовать для растяжения и сжатия (сейчас и для одного, и для другого мы будем использовать единицу, то есть оставим действительные параметры без изменения), можно изменить урав­нение (3.27):

(3.28) D = (U * Сжатие) + (S * E * Растяжение),

где D = значение цены, соответствующее значению стандартной единицы;

Е = значение стандартной единицы;

S = стандартное отклонение;

U = среднее арифметическое.

Подведем итоги. Первые два шага определяют ограничительные параметры (число сигма с каждой стороны от среднего, а также количество равноотстоя­щих точек данных, которое мы собираемся использовать в этом интервале).

Следующие два шага — это нахождение действительных вводных параметров (средней арифметической сделки и стандартного отклонения). Мы можем по­лучить эти параметры эмпирически из результатов торговой системы или из брокерских отчетов. Можно также получить эти величины оценочным путем, но помните, что результаты в этом случае будут настолько точны, насколько точны ваши оценки. Пятый и шестой шаги позволяют определить факторы, ко­торые надо использовать для растяжения и сжатия, если вы собираетесь исполь­зовать сценарий «что если», в противном случае просто используйте единицу как для растяжения, так и для сжатия. Седьмым шагом будет использование уравнения (3.28) для преобразования равноотстоящих точек данных из стандар­тных значений либо в пункты, либо в доллары (в зависимости от того, что вы ис­пользовали в качестве вводных данных для средней арифметической сделки и стандартного отклонения).

Восьмой шаг позволит найти вероятность, ассоциированную (associated) (на­ходящуюся во взаимно однозначном соответствии) с каждой из равноотстоящих точек данных. Эта вероятность определяется уравнением 3.21):

Мы будем использовать уравнение (3.21) без оговорки «если Z < 0, тогда N(Z) = 1 - N(Z)», так как нам надо знать, какова вероятность события, рав­ного или превышающего заданное количество стандартных единиц.

Каждая точка данных имеет стандартное значение, определяемое как па­раметр Z в уравнении (3.21), а также значение, выраженное в долларах или пунктах. Существует еще одна переменная, соответствующая каждой равно­отстоящей точке данных, — ассоциированная вероятность.

Алгоритм расчета

Алгоритм будет продемонстрирован на торговом примере, уже рассмотрен­ном в этой главе. Так как наши 232 сделки выражены в пунктах, нам следует преобразовать их в соответствующие долларовые значения. Какой именно

рынок рассматривается, нам неизвестно, поэтому зададим произвольное значение в 1000 долларов за пункт. Таким образом, средняя сделка 0,330129 преобразуется в 0,330129 * 1000 долларов, или в 330,13 доллара. Стандартное отклонение 1,743232, умноженное на 1000 долларов за пункт, станет равно 1743,23 доллара. Теперь построим матрицу. Сначала мы должны определить диапазон (коли­чество сигма от среднего), в который попадают данные. В нашем примере мы выберем 3 сигма, что означает диапазон от минус 3 сигма до плюс 3 сигма. От­метьте, что следует использовать одинаковое количество сигма слева и справа от среднего. Далее следует определиться с тем, на сколько равноотстоящих точек дан­ных разделить полученный интервал. Выбрав 61, мы получим точку данных на каждой десятой части стандартной единицы. Таким образом, мы зададим стол­бец стандартных значений.

Теперь мы должны определить среднее арифметическое, которое будем ис­пользовать в качестве вводного данного. Мы определим его эмпирически из 232 сделок, в нашем случае оно равно 330,13 доллара. Далее мы найдем стандарт­ное отклонение, которое также определим эмпирически из 232 сделок, оно будет равно 1743,23 доллара. Теперь рассчитаем столбец ассоциированных P&L, то есть определим P&L для каждого стандартного значения. Но до того как определять столбец ассоцииро­ванных P&L, мы должны задать значения для растяжения и сжатия. Так как сей­час мы не собираемся рассматривать сценарии «что если», то возьмем единицу как для растяжения, так и для сжатия.

Среднее арифметическое = 330,13

Стандартное отклонение = 1743,23

Растяжение = 1

Сжатие = 1

С помощью уравнения (3.28) можно рассчитать столбец ассоциированных P&L. Для этого возьмите каждое стандартное значение и подставьте в уравнение (3.28):

(3.29) D = (U * Сжатие) + (S * E * Растяжение),

где D = значение цены, соответствующее значению стандартной единицы;

Е = значение стандартной единицы;

S = стандартное отклонение;

U=среднее арифметическое.

При стандартном значении -3 ассоциированное P&L составляет:

D = (U * Сжатие) + (S * E * Растяжение) = (330,129 * 1) + (1743,232 * (-3) * 1) = 330,129 + (-5229,696) = 330,129 - 5229,696 = -4899,567

Таким образом, ассоциированное P&L при стандартном значении -3 равно -4899,567. Теперь нам надо определить ассоциированное P&L для следующего стандартного значения, которое составляет -2,9, для чего решим то же уравнение (3.29), только на этот раз возьмем Е = -2,9. Теперь определим столбец ассоции­рованной вероятности. Ее можно рассчитать, используя стандартное значение в качестве вводного данного для Z в уравнении (3.21) без оговорки «если Z < О, тогда N(Z) = 1 - N(Z)». При стандартном значении -3 (Z = -3) получаем: