Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Глава 4

Параметрические методы для других распределений

Из предыдущей главы мы узнали, как найти оптимальное f и его побочные продукты при нормальном распределении. Тот же ме­тод применим к любому другому распределению, где известна функция распределения вероятности (то есть интеграл плотно­сти распределения вероятности). О многих известных распреде­лениях и об их функциях распределения вероятности рассказано в приложении В.

К сожалению, большинство распределений торговых P&L плохо описываются функциями нормального и других распределений. В этой главе мы сначала обратимся к проблеме неопределенной природы распределения торговых P&L и далее изучим метод планирования сценария — естественное продолжение идеи оп­тимального/. Этот метод широко применяется и позволяет находить оптимальное f по ячеистым распределениям. Далее мы перейдем к следующей главе, посвященной опционам и одновре­менной торговле по нескольким позициям. Прежде чем смоделировать реальное распределение торговых P&L, мы должны найти метод сравнения двух распределений.

Тест Колмогорова-Смирнова (К-С)

Хи-квадрат тест, без сомнения, является наиболее популярным из всех методов сравнения двух распределений. Так как многие ориентированные на рынок при­ложения, помимо рассматриваемых в этой главе, часто используют хи-квадрат тест, то он описан в Приложении А. Однако для наших целей наилучшим методом будет тест К-С. Этот очень эффективный тест применим к неячеистым распреде­лениям, которые являются функцией одной независимой переменной (в нашем случае, прибыль за одну сделку).

Все функции распределения вероятности имеют минимальное значение 0 и мак­симальное значение 1. То, как они ведут себя между ними, и отличает их. Тест К-С измеряет очень простую переменную D, которая определяется как максимальное аб­солютное значение разности между двумя функциями распределения вероятности. Тест К-С достаточно прост. N объектов (в нашем случае сделок) нормируются (вычитается среднее значение, и полученная разность делится на стандартное от­клонение) и сортируются в порядке возрастания. Когда мы проходим эти отсор­тированные и нормированные сделки, накопленная вероятность рассматривае­мого количества сделок делится на N. Когда мы берем первую сделку в отсортиро­ванной последовательности с наименьшим стандартным значением, функция распределения вероятности (cumulative density function, далее — ФРВ) равна 1/N. Для каждого стандартного значения, которое мы проходим, приближаясь к наи­большему стандартному значению, к числителю прибавляется единица. В конце последовательности наша ФРВ будет равна N/N, или 1. Для каждого стандартного значения мы можем рассчитать теоретическое рас­пределение. Таким образом, мы можем сравнить фактическую функцию распре­деления вероятности с любой теоретической функцией распределения вероятно­сти. Переменная D, или статистика К-С (К-С statistic), равна наибольшему рас­стоянию между значением нашей фактической функции распределения вероятности и значением теоретического распределения ФРВ при этом же стан­дартном значении. При сравнении фактической ФРВ для данного стандартного значения с теоре­тической ФРВ для этого же стандартного значения мы должны также сравнить теоретическую ФРВ предыдущего стандартного значения с фактической ФРВ те­кущего стандартного значения.

Для того чтобы прояснить эту ситуацию, посмотрим на рисунок 4-1. Отметьте. что в точке А фактическая кривая находится выше теоретической. Поэтому мы сравниваем текущее значение фактической ФРВ с текущим теоретическим значе­нием для нахождения наибольшей разности. Однако в точке В фактическая кри­вая находится ниже теоретической. Поэтому мы сравниваем предыдущее факти­ческое значение с текущим теоретическим значением. Идея состоит в том, что в результате мы выберем наибольшую разность.

Для каждого стандартного значения нам надо взять абсолютное значение разно­сти между текущим значением фактической ФРВ и текущим значением теорети­ческой ФРВ. Нам также надо взять абсолютное значение разности между преды­дущим значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Повторив эту операцию для всех стандартных значений точек, где фактическая ФРВ делает скачок вверх на 1/N, и взяв наибольшую разность, мы определим пе­ременную D.

Рисунок 4-1 Тест К-С

Чем ниже значение D, тем больше похожи два распределения. Мы можем преоб­разовать значение D в уровень значимости с помощью следующей формулы:

где SIG = уровень значимости для данного D и N;

D = статистика К-С;

N = количество сделок, по которым определена статистика К-С;

% = оператор, означающий остаток после деления. Здесь J%2 дает остаток после деления J на 2;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Нет необходимости суммировать значения J от 1 до бесконечности. Уравнение сходится (обычно очень быстро) к определенному значению. После того как пре­дел достигнут (согласно допуску, установленному пользователем), нет необходи­мости продолжать суммирование значений.

Рассмотрим уравнение (4.01) на примере. Допустим, у нас есть 100 сделок, а значение статистики К-С равно 0,04:

J1 = (1 % 2) * 4 - 2 * ЕХР(-2 * 1^2 * (100^(1/2) * 0,04) л 2) =1*4-2* ЕХР(-2 * ^ 2 * (10 * 0,04)^ 2) = 2 * ЕХР(-2 * 1^2 * 0,^ 2) = 2*ЕХР(-2*1*0,16) = 2 * ЕХР(-0,32) = 2 * 0,726149 = 1,452298

Таким образом, нашим первым значением является 1,452298. Теперь прибавим следующее значение:

J2 = (2 % 2) * 4 - 2 * ЕХР(-2 * 2^ 2 * (100^ (1/2) * 0,04)^2) =0*4-2* ЕХР(-2 * 2^ 2 * (10 * 0,04)^ 2) = -2 * ЕХР(-2 * 2^ 2 * 0,4^ 2) = -2*ЕХР(-2*4*0,16) = -2*ЕХР(-1,28) = -2 * 0,2780373 = -0,5560746

Прибавив -0,5560746 к нашей текущей сумме 1,452298, мы получим новую теку­щую сумму 0,8962234. Затем снова увеличим J на 1, теперь оно будет равно 3, и решим уравнение. Получившееся значение прибавим к текущей сумме 0,8962234. Следует поступать таким образом и дальше, пока текущая сумма в пределах допуска не перестанет изменяться. В нашем примере предельное значе­ние будет равно 0,997. Этот ответ означает, что при 100 сделках и значении стати­стики К-С 0,04 мы можем быть уверены на 99,7%, что фактическое распределе­ние генерировано функцией теоретического распределения. Другими словами, мы можем быть на 99,7% уверены, что функция теоретического распределения представляет фактическое распределение. В данном случае это очень хороший уровень значимости.

Создание характеристической функции распределения

Нормальное распределение вероятности далеко не всегда является хорошей мо­делью распределения торговых прибылей и убытков. Более того, ни одно из рас­пространенных распределений вероятности не является идеальной моделью. По­этому мы должны сами создать функцию для моделирования распределения на­ших торговых прибылей и убытков.

Распределение изменений цены в общем случае относится к распределе­ниям Парето (см. приложение В). Распределение торговых P&L можно счи­тать трансформацией распределения цен. Эта трансформация является ре­зультатом торговых методов, когда трейдеры пытаются понизить свои убыт­ки и увеличить прибыли, следовательно, распределение торговых P&L можно отнести к распределениям Парето. Однако распределение, которое мы будем изу­чать, не является распределением Парето. Распределение Парето, как и все другие функции распределения, модели­рует определенное вероятностное явление. Оно моделирует распределение сумм независимых, идентично распределенных случайных переменных. Фун­кция распределения, которую мы будем изучать, не моделирует конкретное вероятностное явление. Она моделирует многие унимодальные функции рас­пределения. Поэтому она может повторить форму и плотность вероятности распределения Парето, а также любого другого унимодального распределения.

Теперь мы создадим эту функцию. Для начала рассмотрим следующее уравнение:

(4.02) Y=1/(X^ 2+1)

График этого уравнения — обычная колоколообразная кривая, симметрич­ная относительно оси Y, как показано на рисунке 4-2.

Таким образом, мы будем строить свои рассуждения, используя это общее уравнение. Переменную Х можно представить как число стандартных еди­ниц с каждой стороны от среднего, т.е. от оси Y. Мы можем использовать первый момент этого «распределения», расположение его среднего значения, добавив значение для изменения расположения на оси X. Уравнение изменится следую­щим образом:

(4.03) Y=1/(X-LOC^2+1),

где Y = ордината характеристической функции;

Х = количество стандартных отклонений;

LOC = переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения.

Рисунок 4-2 LOC = 0 SCALE = I SKEW = 0 KURT = 2

Рисунок 4-3 LOC =0,5, SCALE = 1, SKEW = 0, KURT= 2