Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

Рассчитаем очередной столбец, текущую сумму N'(X), накапливающуюся с рос­том X. Это сделать достаточно просто. Далее рассчитаем столбец N(X) для вероятно­сти, ассоциированной с каждым значением Х при данных значениях параметров. Формула для расчета N(X) выглядит следующим образом:

где С = текущее количество точек X;

М = общее количество точек X.

Уравнение (4.12) означает, что при каждом изменении Х необходимо добавить теку­щую сумму при данном значении Х к текущей сумме предыдущего значения X, затем разделить полученную сумму на 2. Далее полученный результат следует разделить на последнее значение в столбце текущей суммы N'(X) (накопленная сумма значений N'(X)). Это даст нам вероятность для значения Х при данных значениях параметров.

Таким образом, для Х = -3 текущая сумма N(X) = 0,302225586, а для предыду­щего значения Х = -3,1 текущая сумма равна 0,2797911392. Сумма двух этих вели­чин равна 0,5820167252. При делении на 2 мы получаем 0,2910083626. Разделив эту величину на последнее значение в столбце накопленной суммы N'(X), равное 11,8535923812, мы получаем 0,02455022522. Это и есть вероятность N(X) при стан­дартном значении Х = -3.

После того как мы вычислили накопленные вероятности для каждой сделки в фактическом распределении и вероятности для каждого приращения стандарт­ного значения в нашем характеристическом распределении, мы можем осуще­ствить тест К-С для значений параметров характеристического распределения, которые используются в настоящий момент. Однако сначала рассмотрим два важ­ных момента.

В примере с таблицей накопленных вероятностей, показанной ранее для нашего регулируемого распределения, мы рассчитывали вероятности с при­ращением стандартных значений 0,1. Это было сделано для наглядности. На практике вы можете получить большую степень точности, используя мень­ший шаг приращения. Приращение 0,01 в большинстве случаев является вполне приемлемым.

Скажем несколько слов о том, как для регулируемого распределения выб­рать ограничительные параметры, то есть количество сигма с каждой стороны от среднего. В нашем примере мы использовали 3 сигма, но в действительно­сти следует использовать абсолютное значение самой отдаленной точки от среднего. Для нашего примера с 232 сделками крайнее левое (самое меньшее) стандартное значение составляет -2,96 стандартной единицы, а крайнее пра­вое (самое большое) составляет 6,935321 стандартной единицы. Так как 6,93 больше, чем ABS(-2,96), мы должны взять 6,935321. Теперь добавим еще 2 сигма к этому значению для надежности и найдем вероятности для распреде­ления от -8,94 до +8,94 сигма. Так как нам нужна хорошая точность, мы будем использовать приращение 0,01. Рассчитаем вероятности для стандартных значений:

Последнее, что мы должны сделать, прежде чем провести тест К-С, — это ок­руглить фактические стандартные значения отобранных сделок с точностью 0,01 (так как мы используем 0,01 в качестве шага для теоретического распреде­ления). Например, значение 6,935321 не будет иметь соответствующей теорети­ческой вероятности, ассоциированной с ним, так как оно находится между зна­чениями 6,93 и 6,94. Так как 6,94 ближе к 6,935321, мы округляем 6,935321 до 6,94. Прежде чем начать процедуру оптимизирования наших параметров регу­лируемого распределения путем применения теста К-С, мы должны округлить фактические отсортированные нормированные сделки в соответствии с выб­ранным шагом. Вместо округления стандартных значений сделок до ближайшего десятичного Х можно использовать линейную интерполяцию по таблице накопленных веро­ятностей, чтобы вычислить вероятности, соответствующие фактическим стан­дартным значениям сделок. Чтобы больше узнать о линейной интерполяции, по­смотрите хорошую книгу по статистике, например «Управление деньгами на то­варном рынке» Фреда Гема. Другие интересные книги указаны в списке рекомендованной литературы. До настоящего момента мы оптимизировали только параметры KURT и SCALE. Может показаться, что при нормировании данных параметр LOC должен быть приравнен к 0, а параметр SCALE — к 1. Это не совсем верно, так как реальное расположение распределения может не совпадать со сред­ним арифметическим, а оптимальное значение ширины отличаться от еди­ницы. Значения KURT и SCALE сильно связаны друг с другом. Таким обра­зом, мы сначала попытаемся приблизительно определить оптимальные зна­чения параметров KURT и SCALE. Для наших 232 сделок получаем SCALE =2,7, а KURT =1,9. Теперь попытаемся найти наиболее подходящие значения параметров. Этот процесс займет достаточно много времени, даже если у вас хороший компьютер. Мы проведем цикл, изменяя параметр LOC от 0,1 до -0,1 по -0,05, параметр SCALE от 2,6 до 2,8 по 0,05, параметр SKEW от 0,1 до -0,1 по -0,05 и параметр KURT от 1,86 до 1,92 по 0,02. Результаты этого цикла дают оптимальное (самое низкое значение статистики К-С) при LOC = О, SCALE = 2,8, SKEW =0 и KURT =1,86. Затем мы осуществим третий цикл. На этот раз будем просматривать LOC от 0,04 до -0,04 по -0,02, SCALE от 2,76 до 2,82 по 0,02, SKEW от 0,04 до -0,04 по -0,02 и KURT от 1,8 до 1,9 по 0,02. Результаты третьего цикла дают оптимальные значения LOC = 0,02, SCALE = 2,76, SKEW = 0 и KURT = 1,8. Мы нашли оптимальную окрестность, в которой параметры дают наилучшее приближение регулируемой характеристической функции к распределению ре­альных данных. Для последнего цикла мы будем просматривать LOC от 0 до 0,03 по 0,01, SCALE от 2,76 до 2,73 по -0,01, SKEW от 0,01 до -0,01 и KURT от 1,8 до 1,75 по -0,01. Результаты этого последнего прохода дают следующие оптимальные параметры для наших 232 сделок: LOC = 0,02, SCALE =2,76, SKEW = 0 и KURT =1,78.

Использование параметров для поиска оптимального f

Теперь, когда найдены наиболее подходящие значения параметров распределе­ния, рассчитаем оптимальное f для этого распределения. Мы можем применить процедуру, которая была использована в предыдущей главе для поиска оптимального f при нормальном распределении. Единственное отличие состоит в том, что вероятности для каждого стандартного значения (значения X) рассчитываются с помощью уравнений (4.06) и (4.12). При нормальном распределении мы находим столбец ассоциированных вероятностей (вероятностей, соответствующих опре­деленному стандартному значению), используя уравнение (3.21). В нашем случае, чтобы найти ассоциированные вероятности, следует выполнить процедуру, де­тально описанную ранее:

1. Для данного стандартного значения Х рассчитайте его соответствующее N'(X) с помощью уравнения (4.06).

2. Для каждого стандартного значения Х рассчитайте накопленную сумму зна­чений N'(X), соответствующих всем предыдущим X.

3. Теперь, чтобы найти N(X), т.е. итоговую вероятность для данного X, прибавьте текущую сумму, соответствующую значению X, к текущей сумме, соответствующей предыдущему значению X. Разделите полу­ченную величину на 2. Затем разделите полученное частное на общую сумму всех N'(X), т.е. последнее число в столбце текущих сумм. Это но­вое частное является ассоциированной 1-хвостой вероятностью для данного X.

Так как теперь у нас есть метод поиска ассоциированных вероятностей для стан­дартных значений Х при данном наборе значений параметров, мы можем найти оптимальное f. Процедура в точности совпадает с той, которая применяется для поиска оптимального f при нормальном распределении. Единственное отличие состоит в том, что мы рассчитываем столбец ассоциированных вероятностей дру­гим способом. В нашем примере с 232 сделками значения параметров, которые получа­ются при самом низком значении статистики К-С, составляют 0,02, 2,76, О и 1,78 для LOC, SCALE, SKEW и KURT соответственно. Мы получили эти значения параметров, используя процедуру оптимизации, описанную в дан­ной главе. Статистика К-С == 0,0835529 (это означает, что в своей наихудшей точке два распределения удалены на 8,35529%) при уровне значимости 7,8384%. Рисунок 4-10 показывает функцию распределения для тех значений параметров, которые наилучшим образом подходят для наших 232 сделок. Если мы возьмем полученные параметры и найдем оптимальное f по это­му распределению, ограничивая распределение +3 и -3 сигма, используя 100 равноотстоящих точек данных, то получим f= 0,206, или 1 контракт на каж­дые 23 783,17 доллара. Сравните это с эмпирическим методом, который покажет, что оптимальный рост достигается при 1 контракте на каждые 7918,04 доллара на балансе счета. Этот результат мы получаем, если ограничиваем распределение 3 сигма с каж­дой стороны от среднего. В действительности, в эмпирическом потоке сделок у нас был проигрыш наихудшего случая 2,96 сигма и выигрыш наилучшего случая 6,94 сигма. Теперь, если мы вернемся и ограничим распределение 2,96 сигма слева от среднего и 6,94 сигма справа (и на этот раз будем использовать 300 равноотсто­ящих точек данных), то получим оптимальное f = 0,954, или 1 контракт на каждые 5062,71 доллара на балансе счета. Почему оно отличается от эмпирического опти­мального f= 7918,04?