Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

войны он отправился в Париж и изучал математику у великого Анри Картана. Сначала Гротендик работал в Сан-Паулу и в Канзасе, затем в Гарварде, а в 1958 году получил приглашение в Институт высших научных исследований, который был недавно основан одним частным предпринимателем и находился под Парижем, в лесах Буа-Мари. Там Гротендик провел следующие двенадцать лет и все это время перестраивал ландшафт высшей математики, поражая своих высоколобых коллег и юных учеников.

Гротендик был мужчина внушительный – бритоголовый красавец, суровый и при этом обаятельный. Его беспощадный минимализм проявлялся и в презрении к деньгам, и в монашеской манере одеваться. Непреклонный пацифист и антимилитарист, он в 1966 году отказался ехать в Москву на Международный конгресс математиков, чтобы получить медаль Филдса – высочайшую награду по математике. Однако на следующий год он все-таки отправился в Северный Вьетнам, где читал лекции по чистой математике в джунглях студентам, эвакуированным из Ханоя из-за американских бомбежек. Он (по собственной воле) почти всю жизнь не занимал никаких должностей, стал отцом троих детей в браке и двоих вне брака, основал радикально-экологическую группировку Survivre et Vivre и один раз был арестован за то, что отправил в нокаут двоих жандармов на политической демонстрации в Авиньоне.

Из-за своих непоколебимых и зачастую параноидальных принципов Гротендик в конце концов оказался изгоем во французских математических кругах. В начале девяностых он скрылся в Пиренеях, где, как сообщала горстка его поклонников, сумевших выследить своего кумира, провел оставшиеся годы, питаясь супом из одуванчиков и размышляя о том, как метафизические злые силы рушат божественную гармонию мира, для чего, по всей видимости, слегка изменяют скорость света. Говорили, что за ним присматривают жители окрестных деревень.

Представления Гротендика о математике заставили его разработать новый язык или даже, возможно, идеологию, позволяющую выразить доселе невообразимые мысли. Он первым сформулировал принцип, согласно которому знать математический объект – все равно что знать его отношения со всеми другими объектами того же рода. Иначе говоря, если хотите знать подлинную природу математического объекта, не заглядывайте внутрь него, а поглядите, как он играет с приятелями.

Такая «однородная группа» математических объектов называется категорией – подчеркнутый поклон Аристотелю и Канту. Например, категория может состоять из абстрактных поверхностей. Эти поверхности как-то взаимодействуют, то есть существуют естественные способы переходить с одной на другую и обратно с учетом их общей формы. Скажем, если у двух поверхностей одинаковое число отверстий, как у бублика и кофейной чашки, одна поверхность математически может быть гладко трансформирована в другую.

А можно представить себе категорию разных алгебраических систем, для которых существует операция, подобная умножению; эти алгебры тоже как-то взаимодействуют – в том смысле, что существуют естественные способы переходить из одной в другую с учетом их общей структуры умножения. Такие двусторонние отношения между объектами, сохраняющие структуру, называются морфизмами, а иногда, чтобы подчеркнуть их абстрактную природу, «стрелками». Они определяют общие очертания взаимодействий в пределах категории.

Тут начинается самое интересное: взаимодействиям в одной категории, например, в категории поверхностей, могут тонко подражать взаимодействия в другой, например, в категории алгебр. То есть взаимодействуют уже категории – существует естественный способ переходить из одной в другую и обратно, и он называется функтор. Вооружившись подобным функтором, можно делать очень общие суждения об обеих категориях, не вдаваясь в утомительные подробности природы каждой из них. Можно также отметить, что поскольку категории взаимодействуют друг с другом, они сами составляют категорию – категорию категорий.

Теорию категорий придумали в сороковые годы Сондерс Маклейн из Чикагского университета и Сэмюэль Эйленберг из Колумбийского университета. Поначалу многие математики отнеслись к ней с сомнением и даже прозвали «абстрактной чушью». Разве может такой разжиженный подход к математике, из которой отцежено практически все ее классическое содержание, привести к чему-то, кроме стерильности? Однако Гротендик заставил его засверкать всеми гранями. С 1958 по 1970 год он работал над тем, чтобы при помощи теории категорий создавать новаторские структуры беспрецедентной насыщенности. С тех пор высокоумные абстракции теории категорий нашли применение в теоретической физике, информатике, логике и философии. Французский философ Ален Бадью с восьмидесятых годов опирается на теорию категорий (причем опирается как квалифицированный математик) при исследовании идей бытия и трансцендентности.

Проект Гротендика начался еще с Декарта – это объединение алгебры и геометрии. Их уподобляют инь и ян математики: геометрия – пространство, алгебра – время, геометрия – как живопись, алгебра – как музыка и так далее. Выражаясь не так изысканно, геометрия занимается формами, а алгебра – структурами, в частности, структурой, скрытой в уравнениях. И как показал Декарт, когда изобрел «декартову систему координат», уравнения способны описывать формы: например, уравнение x+y22=1 описывает окружность с радиусом 1. Оказывается, алгебра и геометрия связаны теснейшим образом и обмениваются «нежными ласками», по выражению Андре Вейля.

Благодаря проницательности Вейля в сороковые годы стало очевидно, что диалектические отношения между алгеброй и геометрией позволяют найти ответ на некоторые самые неподатливые загадки математики. А труды Гротендика подняли эту диалектику на такие высоты абстракции – говорят, они страшили даже великого Вейля – что математикам открылось новое понимание этих загадок. Гротендик заложил основы для многих величайших математических открытий последних десятилетий, в том числе для доказательства Великой теоремы Ферма в 1994 году – колоссального интеллектуального достижения, чья практическая и коммерческая ценность равна нулю.

Гротендик преобразил современную математику. Однако по большей части это преображение – заслуга его куда менее известной предшественницы Эмми Нётер. Именно Эмми Нётер, родившаяся в Баварии в 1882 году, во многом создала абстрактный подход, вдохновивший теорию категорий[12]. Однако она была женщиной в мужском научном мире, и ей отказали в должности профессора в Гёттингене, а факультетские блюстители традиций пытались запретить ей даже читать бесплатные лекции, что и заставило Давида Гильберта, главу немецких математиков, заметить: «Не вижу причин, почему ее пол мешает ей занять эту должность. У нас же университет, а не баня». Эмми Нётер была еврейка, поэтому, когда власть захватили нацисты, бежала в США, где преподавала в Брин-Морском колледже до самой своей смерти (она скончалась от острой инфекции в 1935 году).

У Нётер от природы была интеллектуальная привычка решать задачи, восходя на все более высокие уровни обобщения, и эту склонность разделял и Гротендик, который, как говорили, любил решать задачи не «клин клином вышибая», а повышая уровень моря абстракций, в которых проблема «тонула и растворялась». В его системе представлений знакомые объекты изучения математиков – уравнения, функции, даже геометрические точки – возрождались в виде гораздо более сложных и гибких структур. Все