Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

старое казалось лишь тенями, или, как предпочитал называть их Гротендик, «аватарами» нового. (Изначально аватара – земное воплощение индуистского бога; у многих французских математиков при выборе терминов проявлялась слабость к индуистской метафизике, что, вероятно, объясняется авторитетом Андре Вейля, который был не только математиком, но и специалистом по санскриту.)

Процесс этот наблюдался отнюдь не в единичных случаях. Каждая новая абстракция непременно оказывалась аватарой абстракции высшего порядка. Как пишет Майкл Харрис, «Доступные понятия интерпретируются как аватары недоступных концепций, которые мы пытаемся уловить». А когда математики улавливают новые понятия, они поднимаются по «лестнице» абстракций все выше и выше. Вот на это, утверждает Харрис, и стоит обратить внимание философам: «Если бы вы спросили, какая характеристика современной математики настойчиво требует философского анализа, я бы посоветовал взобраться по лестницам понятий и аватар в поисках смысла, а не искать прочные основания».

А что же там, на самом верху этой лестницы? Вероятно, с лукавой серьезностью предполагает Харрис, там таится «Великая Теорема», из которой и проистекает вся математика, «нечто порядка сансара = нирвана». Но достичь ее невозможно, поскольку к ней ведет бесконечное множество ступеней.

Вот она, драма математики. В отличие от теоретической физики, которая может надеяться на обретение «окончательной теории», описывающей все силы и частицы Вселенной, чистая математика вынуждена признать, что ее поиски истины в последней инстанции ни к чему не приведут. Как отмечает Харрис, «За каждым сорванным покровом таится следующий покров». Математика обречена, по выражению Андре Вейля, на бесконечный цикл «познания и безразличия».

Но не исключено, что все еще хуже. Благодаря второй теореме о неполноте Гёделя, той, которая, грубо говоря, гласит, что математика никогда не докажет собственную непротиворечивость, математики не могут быть абсолютно уверены, что аксиомы, лежащие в основе их трудов, не содержат какое-то логическое противоречие, которое пока никто не обнаружил. Математик Владимир Воеводский, родившийся в Советском Союзе, в своей речи по случаю восьмидесятилетия Института передовых исследований назвал такую возможность «крайне тревожной для любого рационально мыслящего человека». И в самом деле, открытие подобного противоречия может стать смертельным ударом для чистой математики, по крайней мере в том виде, в каком мы знаем ее сейчас. Тогда размоется грань между истинным и ложным, рухнет лестница аватар, а Великая Теорема примет поистине ужасающую форму 0=1.

Но интернет-торговля и финансовые инструменты при этом, как ни странно, не пострадают.

Глава восьмая. Бенуа Мандельброт и открытие фракталов

Бенуа Мандельброт, блистательный польско-франко-американский математик, умерший в 2010 году, обладал поистине поэтическим вкусом к сложности и странности. Гениальное умение подмечать глубинные связи между далекими на первый взгляд явлениями подтолкнуло его к созданию новой области геометрии, расширившей наше понимание как природных форм, так и закономерностей поведения человека. В основу открытия Мандельброта легла простая, но неочевидная мысль о самоподобии. Чтобы понять, что такое самоподобие, рассмотрим всем известный пример – цветную капусту. Возьмите головку этого овоща, изучите ее форму, и вы увидите, что она состоит из соцветий. Отломите одно соцветие. На что оно похоже? На маленькую головку цветной капусты, тоже состоящую из крошечных соцветий. Отломите крошечное соцветие. На что оно похоже? На малюсенькую головку цветной капусты. Если продолжить этот процесс, вскоре потребуется лупа, и вы обнаружите, что все более мелкие кусочки по-прежнему напоминают головку, с которой вы начали. Таким образом, говорят, что головка цветной капусты самоподобна. Каждая ее часть повторяет целое.

В природе встречаются и другие самоподобные предметы и явления, обладающие самой разной формой: облака, береговые линии, молнии, скопления галактик, сеть кровеносных сосудов в нашем организме, а может быть, и последовательности взлетов и падений на финансовом рынке. Чем ближе мы присматриваемся к береговой линии, тем яснее видно, что она не плавная, а зазубренная, и каждый зазубренный сегмент содержит более мелкие и такие же зазубренные сегменты, которые можно описать методами Мандельброта. Поскольку самоподобные формы по природе своей приблизительны и грубоваты, классическая математика не обладает инструментарием для работы с ними. Ее методы со времен древних греков до прошлого столетия лучше подходят для гладких форм вроде окружностей. (Обратите внимание, что окружность не самоподобна: если разбить ее на сегменты чем дальше, тем мельче, то в конце концов они будут практически прямыми).

Математика, описывающая грубые шероховатые формы и способная работать с самоподобием и родственными материями вроде турбулентности, шума, кластеризации и хаоса, появилась лишь в последние десятилетия. И ее перводвигателем стал Мандельброт. На протяжении своей карьеры он часто переезжал, но дольше всего пробыл исследователем в IBM на севере штата Нью-Йорк. В конце семидесятых он прославился популяризацией идеи самоподобия и изобретением термина «фрактал» (от лат. fractus – «разбитый, сломанный»), описывающего самоподобные формы. В восьмидесятые он открыл «множество Мандельброта», очертания которого (оно похоже то ли на жучка, то ли на бородавчатого снеговика) стали символом вошедшей в моду науки о хаосе. Гораздо менее известен другой факт из биографии Мандельброта: его подрывные труды по экономике. Финансовые модели, которые он создал на основе своих фракталов, предполагали, что рынки ценных бумаг и валют гораздо более рискованны, чем считалось в те времена в бизнес-школах и инвестиционных банках, и что неизбежны непредсказуемые завихрения, например, падение индекса Доу – Джонса на 777 пунктов 29 сентября 2008 года.

С этими сторонами карьеры Мандельброта я познакомился еще до того, как прочитал его мемуары «Фракталист. Воспоминания ученого-одиночки» (Mandelbrot, B., The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick), изданные посмертно в 2012 году: Мандельброт закончил черновик незадолго до кончины в возрасте 85 лет. Я знал о его репутации «чудака-одиночки» и «нарушителя спокойствия», вполне заслуженной, невзирая на долгие годы работы в IBM. Однако я не был готов к тому, с каким невероятным количеством людей он так или иначе сотрудничал за свою карьеру. Возьмем неполный список тех, кто упоминается в его мемуарах: Маргарет Мид, Валери Жискар д’Эстен, Клод Леви-Стросс, Ноам Хомский, Роберт Оппенгеймер, Жан Пиаже, Фернан Бродель, Клаудио Аббадо, Роман Якобсон, Джордж Шульц, Дьёрдь Лигети, Стивен Джей Гульд, Филип Джонсон и японская императрица.

Не знал я и о том, что анархистские выходки Мандельброта в IBM по меньшей мере отчасти стали причиной появления этого проклятия современной жизни – компьютерного пароля. Однако больше всего меня поразила незаурядная интуиция Мандельброта. Он снова и снова находил простоту и даже красоту там, где другие видели лишь безнадежную путаницу. В чем его секрет? Любовь к игре в картинки, опора на видимое: «Когда я что-то ищу, то смотрю, смотрю, смотрю…»

Мандельброт родился в 1924