Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

чего идет речь? Описывают ли истины, которые открывают математики, вечное высшее царство объектов – идеальных окружностей и тому подобного – существующих в общем и целом независимо от математиков, которые их изучают? Или математические объекты – на самом деле конструкции, созданные человеком, и существуют лишь в нашем сознании? А может быть – еще радикальнее – чистая математика не описывает вообще никаких объектов и это просто изысканная игра формальных символов, в которую играют при помощи карандаша и бумаги?

Вопрос о том, что же такое математика, не дает покоя философам, но не слишком тревожит Харриса. Философы, занимающиеся проблемами математического существования и истинности, утверждает он, как правило, не обращают особого внимания на то, чем, собственно, занимаются математики. Он пристрастно противопоставляет «философию Математики» (с заглавной «М») – «чисто гипотетический субъект, придуманный философами» – «философии математики» (со строчной «м»), отправной точкой которой служат не априорные вопросы эпистемологии и онтологии, а деятельность трудящихся математиков.

Тут Харрис несколько лукавит. Он почему-то не упоминает, что стандартные противоположные точки зрения в философии математики изначально сформулировали не философы, а математики, более того, некоторые величайшие математики минувшего столетия. Отцом «формализма», считающего высшую математику игрой в формальные символы, стал Давид Гильберт, «супергигант», по оценке Харриса. А за «интуиционизмом», согласно которому числа и другие математические объекты – мысленные конструкции, стоят Анри Пуанкаре (тоже «супергигант»), Герман Вейль и Л. Э. Я. Брауэр. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед занимали так называемую позицию «логицизма» и в своих фундаментальных Principia Mathematica стремились показать, что математика – это просто переодетая логика. А Курт Гёдель отстаивал «платонизм», согласно которому математика описывает вечное и идеальное царство объектов, существующих вне нашего сознания, подобно платоновскому миру форм.

Все эти титаны математики были страстно увлечены философией «Математики с большой буквы», по выражению Харриса. Жаркие споры между ними и их сторонниками разгорелись особенно сильно в двадцатые годы и зачастую переходили на личности. Удивляться здесь нечему: математика того времени переживала «кризис» в результате целой череды открытий, способных подорвать любую уверенность, например, появления неевклидовых геометрий и открытия парадоксов в теории множеств. Возникло ощущение, что под математику нужно подвести новый прочный фундамент, иначе старому идеалу несомненности настанет конец. Под вопросом оказался сам способ заниматься математикой – какие типы доказательств можно признавать и какие применения бесконечности допускать.

И по техническим, и по философским причинам ни одна из конкурирующих фундаментальных программ начала XX века не была признана удовлетворительной (в частности, теоремы о неполноте Гёделя привели к непреодолимым проблемам и для формализма Гильберта, и для логицизма Рассела и Уайтхеда: грубо говоря, теоремы о неполноте говорят, что непротиворечивость правил математической «игры» Гильберта в принципе недоказуема, а логическая система наподобие системы Рассела и Уайтхеда не способна вместить в себя все математические истины). Вопросы математического существования и истинности остались без ответа, и философы по-прежнему размышляли над ними, пусть и безрезультатно, свидетельством чему служит откровенное название статьи Хилари Патнэма, вышедшей в 1979 году: «Философия математики, или Почему ничего не получается» (Putnam, H., Philosophy of Mathematics: Why Nothing Works).

С точки зрения Харриса все это несколько vieux jeu. Ощущение кризиса в профессии, такое острое меньше века назад, несколько померкло, старые трудности удалось либо кое-как преодолеть, либо замаскировать. Если спросить у современного математика, к какой партии он принадлежит, ответом, как в анекдоте, будет, что он платоник по будням и формалист по выходным. То есть математики во время работы над математическими задачами считают, что имеют дело с реальностью, не зависимой от сознания, но когда у них появляется настроение поразмышлять абстрактно, многие утверждают, что математика – всего лишь бессмысленная игра с формальными символами.

Сегодня сдвиги парадигм в математике имеют отношение скорее к поиску более совершенных методов, чем к кризису. Например, бытует мнение, что всю математику можно выстроить из теории множеств. Теория множеств отталкивается от простой идеи, что что-то одно – элемент чего-то другого, и показывает, как на самом скромном материале можно создавать структуры бесконечной, как видно, сложности – системы чисел, геометрические пространства, нескончаемую иерархию бесконечностей. Например, число 0 определяется как «пустое множество», то есть множество, в котором нет ни одного элемента. Число 1 можно определить как множество, которое содержит один элемент – 0 и больше ничего. Число 2, следовательно, можно определить как множество, содержащее 0 и 1, и так далее – каждое следующее число содержит множества для всех предыдущих чисел. Таким образом, числа перестают быть началом начал и рассматриваются как просто множества постепенно усложняющейся структуры.

В 1930-е годы компания блестящих молодых парижских математиков, в которую входил и Андре Вейль, составила заговор с целью укрепить здание математики, перестроив его на логическом фундаменте теории множеств. Этот проект под коллективным nom de guerre Бурбаки просуществовал несколько десятков лет и породил целую череду толстых трактатов. Следствием его деятельности стала, в частности – как ни безумно это звучит – реформа школьного образования в 1960-е годы и введение «новой математики», которая выбила почву из-под ног американских школьников и их родителей, поскольку интуитивное представление о числе заменили непонятным жаргоном теории множеств.

Физики говорят о поисках «теории великого объединения»[11] – и конечно, теория множеств отличается такой сокрушительной обобщенностью, что вполне может показаться «теорией объединения теорий всего». Именно такой она и виделась членам Бурбаки. Однако через несколько десятков лет после запуска программы в их среду затесался выдающийся математик Александр Гротендик – и все преобразил. Он создал новый стиль чистой математики, головокружительно абстрактный и не менее плодотворный. Гротендика стали считать величайшим математиком последнего полувека задолго до его кончины в 2014 году – он умер в возрасте 86 лет отшельником в Пиренеях. Как отмечает Харрис, Гротендика с полным правом можно назвать не только величайшим, но и самым романтичным из математиков: «Его история – готовое художественное произведение».

Даже сухие факты его биографии будоражат воображение. Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были активными анархистами. Отец Гротендика, еврей из России, принимал участие и в восстании против царизма в 1905 году, и в революции 1917 года. Он избежал тюремного заключения при большевиках, дрался с приспешниками нацистов на улицах Берлина, сражался на стороне республиканцев во время Гражданской войны в Испании (вместе с матерью Гротендика) и после капитуляции Франции был депортирован из Парижа в Освенцим, где и погиб.

Мать Гротендика была нееврейка родом из Гамбурга. Она вырастила сына на юге Франции. Там мальчик проявил талант и к математике, и к боксу. После