Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

Эрота – сексуальное желание, возбуждаемое физической красотой конкретного любимого человека. По словам Диотимы, такая разновидность – низшая. Однако Эрот, отточенный философией, способен распространяться на все более высокие объекты. И предпоследний из них, непосредственно перед платоновской идеей самой Красоты – вечная и совершенная красота, открываемая математическими науками. У того, кто способен оценить ее, возникает желание ее воспроизвести – не биологически, а интеллектуально, «разрешиться от бремени» прекрасными идеями и теориями. С точки зрения Диотимы, как, должно быть, и самого Платона, на красоту математики следует отвечать той формой Эрота, которую мы зовем любовью (бессмысленное, но интересное совпадение: ближе к концу «Апологии математика» Г. Г. Харди рассказывает, что на красоту математики ему открыл глаза кембриджский профессор по фамилии Love – «Любовь»).

Вот, к примеру, Эдуард Френкель, русский вундеркинд-математик, который стал гарвардским профессором в 21 год, а сейчас преподает в Беркли, – непоколебимый платоник. Эротом проникнута его очаровательная книга воспоминаний «Любовь и математика» – своего рода платоновское любовное письмо математике. В детстве красота математики поразила Френкеля в самое сердце. А когда, не достигнув и двадцати, он совершил новое математическое открытие, это было «как первый поцелуй». Математика была его страстью и приносила ему радость даже тогда, когда казалось, что он никогда ничего не достигнет в мире науки из-за антисемитизма, царившего в СССР.

Френкель хочет, чтобы эту радость и эту страсть разделили все. Но тут возникает некоторое препятствие. Математика – наука трудная и абстрактная, ее красота большинству из нас, похоже, недоступна. По словам немецкого поэта Ханса Магнуса Энценсбергера, математика – «слепое пятно нашей культуры, чуждая территория, куда смогла проникнуть лишь элита, лишь немногие посвященные». Даже высокообразованные люди не без гордости признают, что ничего не смыслят в математике. Беда в том, что никто не познакомил их с ее шедеврами. Математика, которую преподают в школе и даже в колледже (скажем, введение в математический анализ), в основном стара – ей сотни и даже тысячи лет – и по большей части предполагает решение скучных задач при помощи трудоемких вычислений.

Между тем математики в наши дни в основном занимаются совсем другим. Примерно в середине XIX века в математике произошла своего рода революция: центр внимания сместился с вычислений на научной основе к свободному созданию новых языков и новых структур. Математические доказательства при всей своей строгой логике стали больше похожи на повествования с основным сюжетом, боковыми ответвлениями, поворотами и развязками. Такой математики большинство из нас никогда не видели. Да, она подчас обескураживает. Но великие произведения искусства, даже трудные, зачастую являют свою красоту даже непосвященным. Фуга Баха трогает даже тех, кто не знаком с теорией контрапункта.

Увлечение красотой высшей математики привело к тому, что Френкель и сам сыграл важную роль в самой увлекательной математической драме последних пятидесяти лет – в программе Ленглендса. Эту программу разработал в шестидесятые годы прошлого века канадский математик Роберт Ленглендс, работавший тогда в Институте передовых исследований в Принстоне (и унаследовавший кабинет Эйнштейна). Она претендует на звание теории великого объединения. По словам Френкеля, она содержит «исходный код всей математики». Однако за пределами математического сообщества о ней мало кто знает. Более того, о программе Ленглендса не знало большинство профессиональных математиков даже в девяностые, когда она оказалась задействована в доказательстве последней теоремы Ферма, ставшем сенсацией. А с тех пор она вышла за пределы чистой математики и вторглась в царство теоретической физики.

Френкель вырос в годы брежневского застоя в промышленной Коломне примерно в 100 километрах от Москвы. «В школе я ненавидел математику, – пишет он. – Меня восхищала физика, особенно квантовая физика». Подростком он поглощал научно-популярные книги по физике с их соблазнительными рассказами о субатомных частицах – адронах и кварках. Френкелю не давал покоя вопрос, почему фундаментальные частицы так головокружительно разнообразны, почему они распадаются на семейства определенных размеров. Ясность наступила лишь тогда, когда его родители, оба инженеры, устроили ему встречу со своим старым другом-математиком[9]. Математик объяснил ему, что порядок и логику в строительный материал вещества вносит так называемая «группа симметрий» – математический зверь, с которым Френкель в школе не сталкивался. «Это был момент прозрения, – вспоминает он. – Книги Евгения Евгеньевича открыли передо мной абсолютно другой мир, о существовании которого я даже не подозревал».

С точки зрения математика группа – это набор действий или операций, которые правильным образом сочетаются друг с другом. Что такое «правильным образом», объясняют четыре аксиомы теории групп, определяющие алгебраическую структуру группы. Например, одна из аксиом гласит, что для любого действия в группе существует другое действие в группе, которое его отменяет.

Важная разновидность групп – это группа симметрий. Именно с такими группами и столкнулся Френкель. Представьте себе, что у вас посередине комнаты стоит квадратный карточный стол. Интуитивно понятно, что этот предмет мебели в чем-то симметричен. Как сделать это утверждение более точным? Если повернуть стол относительно центра ровно на 90 градусов, его внешний вид никак не изменится, и если кто-то вышел из комнаты и не видел, как стол поворачивают, то, вернувшись, не заметит никакой разницы (если на поверхности стола не было никаких пятен и царапин). То же самое верно, и если повернуть стол на 180, 270 и 360 градусов, причем в последнем случае стол опишет полный круг, а это эквивалентно тому, что его вообще не поворачивали.

Эти действия составляют группу симметрий карточного стола. Поскольку их всего четыре, группа конечна. Если бы стол был круглым, его группа симметрий была бы бесконечной, поскольку любой поворот – на 1 градус, на 45, на 132,32578 и т. д. – никак не повлиял бы на его внешний вид. Таким образом, группы – это способ измерить симметрию объекта: круглый стол с бесконечной группой симметрий симметричнее квадратного стола, чья группа симметрий состоит всего из четырех действий.

Однако (к счастью) дальше становится интереснее. Группы описывают симметрии, которые выходят за пределы простой геометрии, например, симметрии, скрытые в формуле или в семействе субатомных частиц. Подлинное могущество теории групп было впервые продемонстрировано в 1832 году, в письме к другу, которое наспех нацарапал двадцатилетний парижский студент и политический активист Эварист Галуа поздней ночью накануне гибели на дуэли (за честь женщины – и, весьма вероятно, от руки провокатора на службе правительства).

Эваристу Галуа открылся подлинно прекрасный способ обобщить понятие симметрии на мир чисел. Его théorie des groupes позволила решить классическую алгебраическую задачу, которая столетиями не давала покоя математикам, причем решение оказалось совершенно неожиданным. («Галуа не решал проблему… в том смысле, как об этом было