Управление рисками рыночных систем (математическое моделирование) - Владимир Живетин

Возможны следующие ситуации при одностороннем ограничении (либо хmin, либо хmax).

Рис. 1.19

1. Идеальная (простейшая) ситуация.

Ограничиваемый процесс x(t) – одномерный, ограничения односторонние, не меньше минимального значения (рис. 1.19). Значение х(1)доп вычислено в системе контроля точно без ошибок, ошибки измерения δх = хф – хизм равны нулю, т. е. хизм = хф, динамикой процесса x(t) и ошибками управления пренебрегаем. При этих условиях критическое значение хкр совпадает с х(1)доп. Такую ситуацию и рыночную систему будем считать идеальной.

2. Системе контроля присущи ошибки измерения.

Рис. 1.20

Система контроля вычисляет хдоп с ошибкой δхдоп. При этом множество Ω(2)доп уменьшается на некоторую величину Δ1, которую называют запасом (рис. 1.20). С помощью Δ1 компенсируются потери, обусловленные погрешностями δхдоп, как факторами риска. При этом х(2)доп > х(1)доп.

Рис. 1.21

Измеренное значение хизм индикатора х и его фактическое значение xф отличаются на величину δх – погрешность измерения (δх ≠ 0) (рис. 1.21). При этом с целью компенсации потерь, обусловленных δх, вводят новое допустимое значение х(3)доп и соответствующее множество Ω(o)доп, которое называется оценочной областью допустимых состояний рыночной системы. При этом вводится значение Δ2 = х(3)доп – х(1)доп.

3. В некоторых случаях динамика процесса = dx / dt такова, что ею нельзя пренебрегать, в силу свойств рыночной системы (ее инерционных характеристик). Тогда вводят дополнительный запас Δ3 = х(4)доп – х(1)доп для компенсации потерь, обусловленных, прежде всего, динамикой процессов.

Рассмотрим теперь двусторонние ограничения.

Случай двусторонних ограничений, накладываемых на x(t), представлен на рис. 1.22.

Рис. 1.22

Граничныеэлементы множества Ωдоп обозначим хндоп и хвдоп, где хндоп < хвдоп. При этом имеем:

хндоп = хнкр + Δн; хвдоп = хвкр – Δв,

где хнкр, хвкр – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) критические значения индикатора; Δн, Δв – соответственно нижняя и верхняя величины гарантийного запаса для индикатора, вводимые на случай непреднамеренного выхода х за допустимые значения при неблагополучном сочетании возмущающих факторов. При этом критические значения, как правило, определяются для установившегося режима функционирования рыночной системы.

Задача построения множества допустимых состояний Ωдиндоп для нестационарного состояния рыночной системы более сложная. Множество Ωдиндоп представим в виде:

Ωдиндоп = {x : (xн)диндоп < x < (xв)диндоп},

где (xн)диндоп = φн(хндоп, ); (xв)диндоп = φв(хвдоп, ); φн, φв – неизвестные функции, подлежащие определению; = dx / dt.

Рассмотрим множество Ωкдоп, обусловленное свойствами системы контроля (информационно-измерительной системы). Система контроля обладает погрешностями δ(t), в результате в простейшей модели на ее выходе имеем хизм = хφ + δ(t). Погрешность контроля δ(t) обусловливает необходимость уменьшения области Ωдоп, т. е. введением Ωкдоп следующим образом:

Ωкдоп = {x : (xн)кдоп < x < (xв)кдоп},

где (xн)кдоп, (xв)кдоп – соответственно нижнее и верхнее допустимые при контроле значения x(t). В частном случае (xв)кдоп = (xв)доп – Qв; (xн)кдоп = (xн)доп + Qн, где Qв, Qн – соответственно верхний и нижний запасы, обусловленные погрешностями измерения и подлежащие определению.

В общем случае (х)кдоп Ωкдоп являются функциями параметров (х1, …, хт) состояния рыночной системы вида:

(х)кдоп = f (x1, …, xm, (x1)доп, (xn)доп, (x1)кр, …, (xn)кр, ki, σ2i, t),

где ki – параметры, характеризующие рыночную систему; σ2i – дисперсия погрешностей системы контроля; f – функция, описывающая закон формирования области Ωкдоп.

На рис. 1.23 приведены графические представления указанных выше множеств для двумерного вектора состояния в стационарном случае. Будем говорить, что риск рыночной системы равен нулю, если ее параметры х постоянно находятся в области допустимых состояний, и записывать х Ωдоп. Если х Ωдоп, то такое состояние называют критической ситуацией или катастрофой. В связи с тем, что, находясь в области Ωкр, рыночная система не в состоянии реализовать свое целевое назначение, выход в это состояние необходимо предотвратить.

Рис. 1.23

В общем случае область Ωдоп и ее граница Sдоп зависят не только от х, но и от возмущений, действующих на рыночную систему со стороны внешней среды, и других систем, требующих вложения ресурсов для компенсации их воздействия.

1.6. Математические модели вероятностных показателей риска и безопасности

Формулировка задачи.

Вероятностные показатели разработаем для рыночных систем, в которых имеются системы контроля и управления, предназначенные для предотвращения выхода рыночных систем в область критических состояний.

Контроль – это функция, оказывающая решающее влияние на рыночную систему (рынок), ее нахождение в области Ωдоп или Ωкр. Существуют два вида контроля рыночной системы:

1. Внутренний контроль посредством внутренних систем, когда рыночная система находится в области Ωдоп.

2. Внешний контроль, предназначенный для формирования дополнительных управлений, когда внутренние ресурсы исчерпаны, когда рыночная система достигает Ωкр, т. е. когда ищется «отказавший» объект.