Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Граймз и Уитткер заключили между собой соглашение, согласно которому Граймз через определенный промежуток времени регулярно получал от Уитткера новую головоломку. Если Граймз разгадывал ее в течение месяца, то он вправе был безвозмездно оставить новинку у себя; в противном случае он должен был купить ее.

Иногда стороны, не довольствуясь условиями соглашения, заключали еще и азартные пари. Как-то раз Граймз почти год безуспешно бился над разгадкой головоломки Уитткера, но все его усилия так и не привели к успеху. С помощью маленького компаса Граймз установил расположение внутренних магнитов, а изогнутыми проволочками обследовал все отверстия. Выходное отверстие было закрыто пробкой, которую нужно было протолкнуть внутрь, но что-то удерживало ее: по-видимому, расположенные внутри стальные шарики.

Граймз догадался, что, наклонив определенным образом коробку, он сумеет выкатить шарики из-под пробки, но все его попытки оканчивались неудачей. В конце концов он просветил устройство рентгеновскими лучами и решил головоломку. На рентгенограмме обнаружилась одна большая полость, в которую нужно было загнать пятый шарик. Когда все пять шариков заняли свои места, пробка поддалась.

Остальное было уже не так трудно, хотя один раз для выполнения сложного маневра потребовалось 3 руки: надавливая правой и левой рукой на определенные места футляра, нужно было еще поднять рычажок, удерживаемый сильной пружиной. Граймзу удалось проделать и этот трюк, привязав к рычажку нить, другой конец которой был прикреплен к его ноге!

Ответы

При игре в танграм обычно труднее всего бывает построить изображенный на рис. 175 шестиугольник. Это самый сложный из всех 13 известных в танграме выпуклых многоугольников. Решение единственно с точностью до перестановки заштрихованных кусков фигуры.

Рис. 175 Самый трудный из всех выпуклых многоугольников, который можно построить из семи элементов танграма.

Решение задачи о перестановке черных и белых фишек в 46 ходов выглядит так:

10-8-7-9-12-6-3-9-15-16-10-8-9-11-14-12-6-5-8-2-1-7-9-11-17-16-10-13-12-6-4-7-9-10-8-2-3-9-15-12-6-9-11-10-8-9.

После 23 ходов черные и белые фишки образуют на доске симметричный узор. Поэтому вторая половина ходов просто повторяет в обратном порядке ходы, сделанные в первой половине игры.

Возможны изящные решения в 46 ходов, отличные от решения Дьюдени. Один из читателей нашел 48 таких решений в 46 ходов, которые существенно отличались друг от друга.

Глава 34. ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ

Чарлз Сандерс Пирс как-то сказал, что ни в одной другой области математики специалист не ошибается так легко, как в теории вероятностей. История подтверждает справедливость этого замечания.

Так, Лейбниц считал, что число 12 при бросании двух игральных костей выпадает также часто, как и число 11. Великий французский математик XVIII века Даламбер полагал, что результаты троекратного бросания одной монеты отличаются от результатов бросания трех монет одновременно, и был убежден, что после длинной серии «орлов» вероятность выпадения «решки» повышается (эту уверенность многие любители азартных игр разделяют и поныне).

В наше время теория вероятностей дает на столь простые вопросы ясные и четкие ответы, но при выполнении одного непременного требования: в условии задачи должно быть точно определено, каким именно способом следует производить соответствующие испытания. Всякого рода неточности и умолчания служат причиной недоразумений и парадоксов во многих занимательных задачах вероятностного характера.

Классическим примером может служить задача о сломанной палке: палку случайным образом ломают на три части; какова вероятность того, что из обломков можно составить треугольник? Для того чтобы решить эту задачу, мы должны непременно уточнить, как именно разрешается ломать палку.

Один из возможных вариантов заключается в следующем. Будем считать, что точки перелома равномерно распределены по длине палки. Выберем из них наугад две и переломим палку в выбранных точках. При таком понимании «случайного» переламывания палки на три части ответ задачи, как нетрудно показать, исходя из наглядных геометрических представлений, равен 1/4.

Действительно, нарисуем равносторонний треугольник и соединим середины его сторон отрезками прямых. У нас получится равносторонний треугольник меньших размеров, расположенный внутри первого (на рис. 176 меньший треугольник заштрихован).

Рис. 176 Если палку разломать на три части, то из ее обломков с вероятностью 1/4 можно составить треугольник.

Сумма длин перпендикуляров, опущенных из любой точки большого треугольника на его стороны, не зависит от выбора точки и равна высоте большого треугольника. Если эту точку выбрать внутри меньшего треугольника (на рис. 176 этому условию удовлетворяет точка А), то любой из трех перпендикуляров будет не больше суммы двух других перпендикуляров. Следовательно, из отрезков, равных по длине трем перпендикулярам, опущенным из любой точки малого треугольника на стороны большого, всегда можно построить треугольник. Если же точка лежит вне малого треугольника (на рис. 176 —точка В), то один перпендикуляр заведомо длиннее суммы двух других перпендикуляров, и построить из таких перпендикуляров треугольник невозможно.

Мы не случайно привели здесь эту простую геометрическую задачу. Ее решение тесно связано с решением вероятностной задачи о сломанной палке. В самом деле, сумма трех перпендикуляров соответствует длине палки, каждая точка большого треугольника отвечает одному и только одному способу разломать палку на три части, а три перпендикуляра — трем обломкам. Вероятность сломать палку с «благоприятным исходом» равна вероятности случайного выбора такой точки, что три опущенных из нее перпендикуляра могут служить сторонами некоторого треугольника. Как мы только что видели, такое событие возможно лишь тогда, когда случайно выбранная точка попадает внутрь заштрихованного треугольника.

Так как его площадь составляет 1/4 площади всего треугольника, то искомая вероятность равна 1/4.

Утверждению о том, что «палку случайным образом ломают на три части», можно придать иной смысл. Например, его можно толковать так: палку наугад переламывают на две части, затем также наугад выбирают один из обломков и переламывают его еще раз (снова в случайно выбранной точке). С какой вероятностью в этом случае из обломков можно составить треугольник?

Решение задачи дает тот же чертеж, что и в предыдущем случае. Если, переломив палку в первый раз, мы выберем более короткий обломок, то построить треугольник будет невозможно. Что же произойдет, если выбрать обломок подлиннее? Пусть вертикальный перпендикуляр на чертеже соответствует короткому обломку.

Для того чтобы вертикальный перпендикуляр был меньше суммы двух других перпендикуляров, точка, из которой они опущены, не должна лежать внутри самого верхнего из малых треугольников, на которые отрезками прямых, соединяющих середины его сторон, поделен большой треугольник. Точки, у которых вертикальный перпендикуляр меньше суммы двух других перпендикуляров, равномерно заполняют три малых треугольника в нижней части большого треугольника. Благоприятному исходу по-прежнему соответствуют лишь те точки, которые попадают внутрь заштрихованного треугольника, но на этот раз его площадь составляет лишь 1/3 площади, отвечающей всем возможным исходам. Следовательно, выбрав из двух обломков больший, мы сможем построить треугольник (разломав выбранный нами обломок еще раз на две части) лишь в 1/3 случаев. Так как вероятность выбрать больший обломок равна 1/2, ответ на вопрос задачи в этом случае равен произведению 1/2 на 1/3, то есть 1/6.

Геометрическими построениями в задачах такого рода следует пользоваться осторожно, потому что они также способны вводить в заблуждение своей неоднозначностью. В качестве примера приведем одну задачу, рассмотренную в курсе теории вероятностей знаменитого французского математика XIX века Бертрана: какова вероятность того, что проведенная наудачу хорда будет длиннее стороны равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность?

Ответить на этот вопрос можно, например, так. Хорда должна начинаться в некоторой точке окружности. Обозначим эту точку через А и проведем к окружности касательную в точке А (рис. 177,a).

Рис. 177 Вероятность того, что наудачу проведенная хорда длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника, оказывается 1/3 (a), 1/2 (б) и 1/4 (в).

Другим концом хорды может быть любая точка окружности, поэтому мы получаем бесконечно много равновероятных хорд (некоторые из них на чертеже показаны пунктиром). Ясно, что длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника могут быть лишь те хорды, которые попадают внутрь угла при вершине треугольника в точке А. Поскольку этот угол равен 60°, а хорды заполняют развернутый угол (180°), вероятность того, что случайно проведенная хорда будет длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника, равна 60/180, или 1/3.