Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Первое, что приходит в голову, — это заменить третью составную часть цепи на рис. 163 другой цепью, также обладающей вращательной симметрией третьего порядка относительно центрального узла. Произвести замену можно лишь при соблюдении весьма жестких условий, на объяснении которых необходимо остановиться подробнее.

Можно показать, что диаграмма Смита для квадрируемого прямоугольника всегда будет плоской. Это означает, что ее всегда можно начертить на плоскости так, что никакие два проводника не будут пересекаться нигде, кроме узлов. Кроме того, мы всегда можем добиться, чтобы на чертеже между полюсами не было ни одного замкнутого контура. Справедлива также и обратная теорема.

Она утверждает, что любую электрическую цепь, на схеме которой нет ни пересечений отдельных ветвей, ни замкнутых контуров, разделяющих полюса цепи, можно рассматривать как диаграмму Смита некоторого квадрируемого прямоугольника. Я не буду останавливаться на строгом доказательстве этих теорем. Это заняло бы слишком много места, и, кроме того, у читателя создалось бы неверное представление о том, как был найден совершенный квадрат.

В действительности же мы преспокойно обходились без строгих доказательств и занялись ими, лишь когда настало время подготовки публикации.

Вряд ли можно приветствовать пренебрежение строгостью в математическом исследовании. Например, отказ от строгости в работе, целью которой является доказательство теоремы о четырех красках, привел бы (и уже неоднократно приводил) к самым печальным последствиям. Однако наше исследование в основном было экспериментальным, и его экспериментальными результатами были найденные нами совершенные прямоугольники. Временным обоснованием наших методов до того, как была разработана их точная теория, служили полученные с их помощью прямоугольники.

Однако вернемся к рисунку 163 и замене третьей компоненты цепи новой симметричной цепью с центром в точке Р. Полученная в результате такой замены цепь не только должна быть плоской, но и должна оставаться плоской при совмещении точек Р и Р'.

После нескольких неудачных попыток я нашел две тесно связанные между собой цепи, удовлетворяющие этим условиям. Соответствующие диаграммы Смита показаны на рис. 168 и 169.

Рис. 168

Рис. 169

Как и ожидалось, каждая диаграмма допускала отождествление точек РиР'и таким образом приводила к двум квадрируемым прямоугольникам с одинаковыми приведенными элементами. Неожиданным оказалось то, что у всех четырех прямоугольников одинаковые приведенные стороны.

По существу новое открытие означало, что прямоугольники, соответствующие диаграммам на рис. 168 и 169, имеют одинаковую форму, но их приведенные элементы совпадают не полностью.

Вскоре было найдено простое теоретическое объяснение этого факта. Обе интересующие нас цепи одинаковы по структуре и различаются лишь положением полюсных узлов, поэтому у соответствующих им прямоугольников полные горизонтальные стороны равны.

Кроме того, совместив полюса каждой из цепей, мы снова получим две неотличимые по своей структуре цепи. Это означает, что у соответствующих прямоугольников полные вертикальные стороны также равны. Все же нас не покидало ощущение, что найденное нами объяснение не слишком глубоко, поскольку оно никак не использует вращательную симметрию цепи.

В конце концов мы условились называть вновь открытое явление «эквивалентностью между ротором и статором». Оно всегда наблюдалось у цепей, которые можно было разбить на две части — «ротор» и «статор» — со следующими свойствами: ротор обладает вращательной симметрией; все узлы, общие для ротора и статора, эквивалентны относительно операций симметрии ротора, а полюса принадлежат статору. Например, на рис. 168 статор состоит из проводников, соединяющих узел Р' с точками А1, А2 и А3, и проводника, соединяющего А2 с А3. Вторую цепь можно получить с помощью операции, называемой «обращением» ротора. Если схема цепи хорошо начерчена, то «обращению» ротора можно придать наглядный смысл: эта операция есть не что иное, как отражение ротора относительно прямой, проходящей через его центр. Так, отражая ротор цепи, изображенной на рис. 168, относительно прямой РАз, мы получаем цепь на рис. 169.

Изучив несколько примеров эквивалентности между ротором и статором, мы убедились, что обращение ротора не изменяет полных сторон прямоугольника и токов в статоре, но токи в роторе могут изменяться. Удовлетворительные доказательства этих утверждений были получены гораздо позднее.

Эквивалентность между ротором и статором имеет лишь косвенное отношение к явлению, открытому миссис Брукс, и ее следует рассматривать просто как еще одно свойство цепей, имеющих симметричные части. Для нас важность сделанного миссис Брукс открытия заключается в том, что оно подсказало нам мысль об исследовании таких цепей.

Теперь нас неотступно преследовал новый вопрос: каково наименьшее число общих элементов у совершенных прямоугольников, образующих пару ротор — статор? Прямоугольники на рис. 168 и 169 имеют семь общих элементов, из них три отвечают токам в роторе. Тот же ротор со статором, состоящим лишь из одного-единственного проводника А2А3, порождает два совершенных прямоугольника шестнадцатого порядка с четырьмя общими элементами. Возникла мысль: почему бы, используя статоры, состоящие только из одного проводника, не попытаться построить пару совершенных прямоугольников, имеющих лишь один общий элемент — тот, который соответствует статору? Теоретически никаких причин, которые бы препятствовали этому, не было. В то же время мы ясно сознавали, что если нам удастся построить пару таких прямоугольников, то мы смогли бы построить совершенный квадрат. Действительно, у роторов с вращательной симметрией третьего порядка, изучением которых мы занимались, статор, состоящий лишь из одного проводника, на схеме разбиения каждого прямоугольника на квадраты всегда изображается угловым элементом. Мы надеялись, что из двух совершенных прямоугольников с единственным общим угловым элементом нам удастся построить совершенный квадрат.

Идея его построения ясна из рис. 170.

Рис. 170

Заштрихованные части означают совершенные прямоугольники; квадрат, в котором они перекрываются, соответствует их общему угловому элементу.

Мы приступили к вычислению пар ротор — статор. Роторы мы выбирали как можно более простые, отчасти из желания облегчить свой труд, отчасти в надежде получить совершенный квадрат с небольшими приведенными элементами. Но наши построения одно за другим терпели неудачу, и мы впали было в отчаяние. Неужели путь к решению преграждает еще какой-то теоретический барьер, который также придется исследовать?

Кому-то из нас пришло в голову, что причина неудач могла крыться в излишней простоте конструкции наших роторов и что более сложные роторы, возможно, будут лучше: оперировать придется с гораздо большими числами и возможность случайного совпадения уменьшится. В один прекрасный день, придя в колледж, Смит и Стоун засели за расчет сложной пары ротор — статор, не зная о том, что Брукс, находившийся в другой комнате, также занят вычислением другой такой пары. Когда несколько часов спустя Смит и Стоун ворвались к Бруксу с криком: «Мы нашли совершенный квадрат!», тот уже мог ответить: «Я тоже!»

Оба найденные квадрата были шестьдесят девятого порядка.

Брукс, продолжая экспериментировать над не слишком сложными роторами, сумел получить совершенный квадрат тридцать девятого порядка, соответствующий ротору на рис. 171.

Рис. 171

Полное описание этого квадрата содержится в формуле: [2378, 1163, 1098], [65, 1033], [737, 491], [249, 242], [7, 235], [478, 259], [256], [324, 944], [219, 296], [1030, 829, 519, 697], [620], [341, 178], [163, 72 154], [201, 440, 157, 31], [126, 409], [283], [1231], [992, 140], [852].

В этой формуле каждая пара скобок соответствует одному из горизонтальных отрезков на схеме разбиения совершенного квадрата.

Горизонтальные отрезки берутся в том порядке, как они следуют по вертикали сверху вниз. Первым идет верхнее основание совершенного квадрата; его нижнее основание в перечислении горизонтальных отрезков не участвует. Числа в скобках означают длины сторон тех элементарных квадратов, чьи верхние основания принадлежат соответствующему горизонтальному отрезку; эти длины перечисляются по порядку, слева направо. Приведенная сторона совершенного квадрата равна сумме чисел, заключенных в первых скобках, то есть 4639.