Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Возможны и другие правила. Например такое: «Пойдите любой картой, которая по достоинству отличается от верхней карты исходного ряда». Это правило проще, но, даже допустив, что оно верно, мы вряд ли сможем объяснить, как могло возникнуть более тесное упорядочение карт, подчиняющееся первому правилу. Ведь вполне может случиться так, что все игроки ошибочно приняли за истинное первое правило и действовали соответственно ему, причем никто ни разу не пошел картой, равной по достоинству верхней карте исходного ряда. Разумеется, в настоящей игре ошибочные карты позволяют строить дополнительные предположения и отбирать среди конкурирующих гипотез нужную.

Некоторым нравится придумывать очень сложные правила.

Один из возможных вариантов выглядит так. Во внимание принимаются только численные значения карт, причем значение туза считается равным 14. Циклические повторения в расположении карт не допускаются. Ходить можно картой, значение которой либо больше, либо меньше значения верхней карты исходного ряда.

Если очередной игрок продолжает либо увеличивать, либо уменьшать значение карт, то он должен увеличить шаг между значениями карт. Если дальнейшее увеличение шага невозможно, то шаг считается равным 1.

То обстоятельство, что одни и те же факты можно объяснить с помощью различных гипотез и что любую гипотезу можно «перелицевать» так, чтобы она соответствовала и новым, ранее противоречившим ей фактам, позволяет нам глубже понять важную особенность научного метода. Например, если мы пойдем восьмеркой бубен на восьмерку треф, то последнее правило можно спасти, добавив, что восьмерка бубен — единственная карта, которой можно пойти в любой момент. Многие научные гипотезы (например, птолемееву модель Вселенной) пытались спасти, загромождая их все большими и большими подробностями, чтобы хоть как-нибудь объяснить новые факты, прежде чем окончательно отказаться от них в пользу более простого объяснения.

Из всего сказанного возникают два глубоких вопроса философии науки: почему простейшая гипотеза является наилучшей? Чем определяется "простота"?

Глава 31. ОРИГАМИ

Среди многих явлений японской культуры, вызывающих ныне все больший интерес, следует назвать оригами — старинное японское искусство складывания различных фигурок из бумаги.

Возникновение оригами теряется во мгле истории Древнего Востока. Сложенные из бумаги птички (их носили как украшения на кимоно) можно увидеть на японских гравюрах XVIII века, но само искусство оригами и в Китае и в Японии зародилось на много столетий раньше. Было время, когда владеть искусством оригами считалось обязательным для утонченных японских дам. Ныне в искусстве оригами практикуются лишь гейши и японские дети, которых знакомят с ним в школе. С 50-х годов сильно возросла популярность оригами в Испании и Латинской Америке. В этом немалая заслуга выдающегося испанского поэта и философа Мигеля де Унамуно. Он не только написал пародийно-серьезный трактат по оригами, но и придумал особый способ складывания листа бумаги, позволивший ему создать много новых забавных фигурок.

Классическое оригами — это искусство складывать из одного лишь листа бумаги, без каких-либо разрезов, склеиваний или дорисовывания отдельных деталей, реалистические фигурки животных, птиц, рыб и других предметов. В современном оригами столь строгими требованиями иногда пренебрегают: там сделают небольшой надрез ножницами, здесь добавят капельку клея, карандашом подрисуют глазки и т. д. Но подобно тому как прелесть восточной поэзии заключена в полноте выражения мысли и чувства при минимальном числе слов и весьма жестких правилах стихосложения, точно так же и оригами привлекает нас необычайным реализмом своих произведений, хотя для создания их не требуется ничего, кроме квадратного листа бумаги и пары искусных рук. Листок бумаги, согнутый вдоль ничем не примечательных унылых геометрических линий, внезапно преображается, превращаясь на наших глазах в изящное миниатюрное произведение полуабстрактной скульптуры, поражающее нас своим совершенством.

Если принять во внимание геометрическую сторону складывания фигур из бумаги, то вряд ли кого-нибудь удивит, что многие математики с увлечением занимались этим прекрасным, таящим в себе неисчерпаемое разнообразие форм искусством. Так, одним из восторженных поклонников сложенных из бумаги фигурок был Льюис Кэрролл, автор общеизвестных «Алисы в Стране Чудес» и «Алисы в Зазеркалье», преподававший математику в Оксфорде.

(Записи в дневнике Кэрролла свидетельствуют о том, какой восторг охватил его, когда он научился складывать из бумаги игрушку, издававшую при сильном взмахе ею в воздухе громкий хлопок.)

Складывание различных моделей из бумаги, в том числе и занимательных игрушек, известных под названием флексатонов (см. главу 17), занимает видное место в литературе по занимательной математике. Ему посвящено много брошюр и статей.

Уже самое простое перегибание листа бумаги приводит к интересному математическому вопросу. Почему, когда мы перегибаем лист бумаги, линия сгиба является прямой? В некоторых учебниках геометрии этот факт иногда приводят как иллюстрацию того обстоятельства, что две плоскости пересекаются по прямой, но такое объяснение, очевидно, неверно, ибо части сложенного листа принадлежат параллельным, а не пересекающимся плоскостям. Правильное объяснение этого факта дал Л. Р. Чейз.[53] Вот как он рассуждал.

Пусть р и р'— две точки на листе бумаги, совпадающие при перегибании листа. Любая точка а лежащая на линии сгиба, равноудалена от р и р', так как прямые ар и ар' при перегибании листа совпадают. Следовательно, линия сгиба, будучи геометрическим местом точек а, равноудаленных от р и р', перпендикулярна отрезку рр' и делит его пополам.

Складывание правильных многоугольников, хотя оно и не входит в классическое оригами, может служить увлекательным упражнением для работы в классе. Равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и восьмиугольник сложить легко, но при складывании правильного пятиугольника могут встретиться кое-какие затруднения. Проще всего сложить правильный пятиугольник можно так: завязать полоску бумаги узлом и затем разгладить его (как это показано на рис. 155 слева).

Рис. 155 Как сложить правильный пятиугольник из полоски бумаги.

Слева — полоска бумаги, завязанная узлом. Если полоску согнуть еще раз так, как показано на рисунке справа, и посмотреть на свет, то будет видна «пентаграмма».

Из сложенной таким образом полоски может выйти неплохая шляпа. Если один из концов полоски перегнуть еще раз и посмотреть сквозь узел на яркий свет, то мы увидим знаменитую пентаграмму (на рис. 155 справа). В средние века пентаграмме приписывали магические свойства.

Перегибая лист бумаги, можно также построить различные семейства касательных, огибающими которых служат алгебраические кривые не слишком высокого порядка. Особенно легко построить параболу. Отступив от края листа, поставим на нем точку.

Перегибая лист (нам понадобится сделать около 20 перегибаний), будем следить за тем, чтобы каждый раз край листа проходил через поставленную нами точку. На рис. 156 хорошо видна возникающая при этом полная иллюзия начерченной параболы.

Рис. 156 Если лист бумаги согнуть так, чтобы его нижний край прошел через фокус, то линия сгиба будет касательной к параболе.

Отмеченная точка служит фокусом параболы, край листа — ее директрисой, а линия сгиба—касательной к параболе. Нетрудно видеть, что по самому построению любая точка кривой равноудалена от фокуса и директрисы. Именно это свойство и определяет параболу.

Интересная задача из области элементарного анализа возникает в связи с нашим способом построения параболы. Возьмем лист бумаги размером 8 х 11 см. Перегнем его так, чтобы угол А коснулся левого края листа (рис. 157).

Рис. 157 Задача из области математического анализа, возникающая при складывании бумаги.

Передвигая угол А вверх и вниз вдоль левого края и фиксируя в каждом положении линию сгиба, мы получаем семейство касательных к параболе с фокусом в правом нижнем углу развернутого листа. В какую точку левого края листа следует поместить угол А для того, чтобы линия сгиба, пересекающая нижний край листа, имела наименьшую длину? Чему равна минимальная длина линии сгиба? Читателям, не знакомым с дифференциальным исчислением, будет небезынтересно рассмотреть следующий более простой вариант этой же задачи. Уменьшим ширину листа до 7,68 см и перегнем его так, чтобы угол А совпал с точкой левого края, отстоящей от основания на расстоянии 5,76 см.