Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

В 1936 году литература по задаче о разрезании прямоугольника на неповторяющиеся квадраты была крайне бедна. Так, было известно, что прямоугольник со сторонами 32 и 33 единицы можно разрезать на девять квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18 единиц (рис. 159).

Стоуна заинтересовало высказанное в «Кентерберийских головоломках» Дьюдени предположение о том, что квадрат нельзя разрезать на неповторяющиеся квадраты. Из чистого любопытства он попытался найти доказательство этой гипотезы, но безуспешно, однако ему удалось найти разбиение прямоугольника со сторонами 176 и 177 единиц на 11 неповторяющихся квадратов (рис. 160).

Достигнутый успех, хотя он и не был полным, окрылил воображение Стоуна и трех его друзей, и вскоре все всерьез увлеклись задачей и стали уделять ей много времени. Была разработана специальная терминология. Прямоугольник, который можно разрезать на неповторяющиеся квадраты, назвали «совершенным» прямоугольником. Позднее для обозначения прямоугольника, который допускает разрезание на два или большее число квадратов, не обязательно разных, был предложен термин «квадрируемый» прямоугольник.

Оказалось, что построить совершенный прямоугольник крайне просто. Метод построения заключается в следующем. Нарисуем прямоугольник, разрезанный на меньшие прямоугольники (рис. 161), и рассмотрим получившийся рисунок как искаженное изображение некоторого квадрируемого прямоугольника.

Предположив, что меньшие прямоугольники на самом деле являются квадратами, с помощью несложных алгебраических выкладок найдем, какими должны быть длины сторон этих квадратов, чтобы сделанное предположение было верным. Рассмотрим, например, прямоугольник, изображенный на рис. 161.

Рис. 161

Обозначив стороны двух смежных квадратов через х и у, сразу же получим, что длина стороны примыкающего к ним снизу квадрата равна х + у, а сторона квадрата, примыкающего слева к квадратам со сторонами у и х + у, равна х + 2у и т. д. Продолжая этот процесс, получим показанные на рис. 161 формулы, выражающие длины сторон всех 11 квадратов, на которые разрезан исходный прямоугольник. Эти формулы обеспечивают плотное (то есть без просветов и наложений) прилегание квадратов друг к другу всюду, кроме отрезка АВ. Выбирая х и у так, чтобы они удовлетворяли уравнению

(Зх + у) + (Зx — Зу) = (14у — Зx),

или

16у = 9х,

можно добиться плотного прилегания квадратов, граничащих и по отрезку АВ. Полагая х = 16, у = 9 (эта пара значений х и у удовлетворяет только что выписанному уравнению), получаем совершенный прямоугольник, показанный на рис. 160, который был впервые найден Стоуном.

Иногда длины сторон квадратов, вычисленные по этому методу, оказывались отрицательными. Однако, как выяснилось, такие «отрицательные» квадраты небольшим изменением исходного рисунка всегда можно превратить в «положительные», поэтому никаких особых неприятностей при появлении «отрицательных» квадратов у нас не возникало. В некоторых более сложных случаях за неизвестные необходимо было принимать длины х, у и z сторон трех квадратов, тогда после всех алгебраических преобразований приходилось решать не одно, а два линейных уравнения. Иногда дрируемый прямоугольник не приводился к совершенному, в этом случае попытка считалась неудачной. К счастью, это случалось не слишком часто. Мы включали в свой каталог лишь «простые» совершенные прямоугольники, то есть совершенные прямоугольники, не содержащие других совершенных прямоугольников. Например, совершенный прямоугольник, получающийся из изображенного на рис. 159 квадрата путем пристраивания к нему сверху квадрата со стороной 32 единицы, не будет простым, и его не включили в список.

На первом этапе исследования было построено много совершенных квадратов, допускающих разбиение на квадраты, число которых было различным: от 9 до 26. Окончательной, или канонической, формой прямоугольника мы считали такую, в которой длины сторон составляющих прямоугольник квадратов выражались взаимно простыми целыми числами. Мы надеялись, что, построив достаточно много совершенных прямоугольников, в конце концов сможем найти «совершенный квадрат». Однако по мере того, как удлинялся список совершенных прямоугольников, начала таять надежда, а вместе с ней пошла на убыль и производительность.

Рассматривая составленный каталог совершенных прямоугольников, мы заметили некоторые странные закономерности. Прямоугольники классифицировались по их «порядку», то есть по числу тех квадратов, из которых они составлены. И вот оказалось, что среди чисел, выражающих длины сторон квадратов, образующих прямоугольники данного порядка, заметна тенденция к повторению. Кроме того, полупериметр прямоугольника одного порядка часто по нескольку раз повторялся как длина стороны прямоугольника следующего порядка. Например, воспользовавшись всем, что уже говорилось о построении совершенных прямоугольников, нетрудно показать, что четыре из шести простых совершенных прямоугольников девятого порядка имеют полупериметр, равный 209, и что пять из 22 простых совершенных прямоугольников одиннадцатого порядка имеют сторону длиной 209 единиц. Мы много обсуждали это явление, названное нами «таинственным рекуррентным законом», но так и не смогли дать ему сколько-нибудь удовлетворительного объяснения.

На следующем этапе исследования было решено отказаться от эксперимента в пользу теории. Попытки изобразить квадрируемые прямоугольники с помощью диаграмм не привели к успеху. Существенный прогресс был достигнут лишь после того, как Смит предложил особую разновидность диаграмм, названную в его честь остальными исследователями диаграммами Смита. Смит возражал против такого названия, мотивируя это тем, что предложенные им диаграммы являются всего лишь небольшой модификацией ранее известных. Как бы то ни было, диаграммы Смита неожиданно превратили задачу в часть общей теории электрических цепей.

На рис. 162 рядом с совершенным прямоугольником показана его диаграмма—диаграмма Смита.

Рис. 162

Каждому горизонтальному отрезку на схеме разбиения прямоугольника на квадраты сопоставлена точка, или «клемма», на диаграмме Смита. «Клемма» лежит на продолжении соответствующей ей горизонтальной линии за контур прямоугольника вправо. Так, любой из входящих в разбиение квадратов ограничен сверху и снизу двумя горизонтальными отрезками, на диаграмме Смита его изображением служит линия, или «проводник», соединяющая две точки, одна из которых является изображением верхней стороны квадрата, а другая — изображением его основания. Представим себе, что по каждому проводнику течет ток. Пусть сила тока численно равна длине стороны квадрата, условно изображенного на диаграмме Смита данным проводником.

Предположим, что ток идет в направлении от точки, соответствующей верхней стороне квадрата, к точке, сопоставленной основанию того же квадрата.

«Клеммы», отвечающие на диаграмме Смита верхней и нижней (горизонтальной) сторонам большого прямоугольника, удобнее всего назвать положительным и отрицательным полюсами получившейся электрической цепи.

К нашему удивлению выяснилось, что электрические токи, введенные по только что перечисленным правилам, ведут себя как «настоящие»: они подчиняются правилам Кирхгофа для токов в цепи, если считать сопротивление каждого проводника равным единице.

Первое правило Кирхгофа состоит в том, что алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из любого узла (из любой «клеммы»), кроме полюсов, равна нулю. Это означает, что сумма сторон квадратов, ограниченных снизу данным горизонтальным отрезком, равна сумме сторон квадратов, ограниченных тем же отрезком сверху, если этот отрезок не принадлежит ни одной из горизонтальных сторон большого прямоугольника. Второе правило Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма падений напряжения для любого замкнутого контура равна нулю. Наша цепь собрана из проводников с единичным сопротивлением, поэтому второе правило Кирхгофа применительно к нашему случаю можно сформулировать иначе: алгебраическая сумма токов для любого замкнутого контура в цепи равна нулю. Это означает, что если на схеме разбиения совершенного прямоугольника на квадраты выбрать произвольный замкнутый маршрут, то, обойдя его и вернувшись в исходную точку, мы пройдем вверх и вниз одинаковые расстояния.

Полный ток, втекающий в цепь из положительного полюса и вытекающий из цепи в отрицательный полюс, равен, очевидно, длине горизонтальной стороны прямоугольника, а разность потенциалов между двумя полюсами — длине вертикальной стороны прямоугольника.