Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Полный ток, втекающий в цепь из положительного полюса и вытекающий из цепи в отрицательный полюс, равен, очевидно, длине горизонтальной стороны прямоугольника, а разность потенциалов между двумя полюсами — длине вертикальной стороны прямоугольника.

Для нас открытие такой электрической аналогии было важно в том отношении, что позволяло связать нашу задачу с хорошо разработанной теорией. С помощью методов, заимствованных из теории электрических цепей, мы смогли получить формулы для токов в общей диаграмме Смита и, следовательно, для длин сторон квадратов, на которые разбивается квадрируемый прямоугольник.

Главные результаты такого заимствования были сформулированы следующим образом: с каждой электрической цепью можно связать определенное число, характеризующее ее структуру и не зависящее от того, какая именно пара узлов выбрана в качестве полюсов.

Это число назвали сложностью цепи. Если единица длины для данного прямоугольника выбрана так, что длина его горизонтальной стороны численно равна сложности, то стороны составляющих его квадратов будут выражаться целыми числами. Кроме того, длина вертикальной стороны прямоугольника равна сложности другой цепи, которая получается из первой при слиянии обоих полюсов в одну точку.

Числа, задающие в такой системе единиц длины сторон прямоугольника и составляющих его квадратов, назвали «полными» длинами сторон и «полными» элементами прямоугольника соответственно. У некоторых прямоугольников полные элементы имеют общий множитель, больший единицы. Разделив в таком случае их на общий множитель, мы получим «приведенные» длины сторон и элементы. Именно эти приведенные стороны и элементы мы включали в каталог.

Из полученных результатов было ясно, что если два емых прямоугольника отвечают электрическим цепям одинаковой структуры, отличающимся лишь выбором полюсов, то полные горизонтальные стороны таких прямоугольников равны. Если же структура электрических цепей двух прямоугольников совпадает лишь после совмещения в каждом из них обоих полюсов в одну точку, то у таких двух прямоугольников равны полные вертикальные стороны. Эти два факта объясняют все случаи того «таинственного рекуррентного закона», с которым мы сталкивались ранее.

Открытие диаграммы Смита упростило процесс получения и классификации простых квадрируемых прямоугольников. Без особого труда мы перечислили все допустимые электрические цепи, состоящие из не более чем 11 проводников, и нашли все соответствующие им квадрируемые прямоугольники. Затем обнаружили, что совершенных прямоугольников ниже девятого порядка не существует и что имеется лишь два совершенных прямоугольника девятого порядка (см. рис. 159 и 162). Были найдены все совершенные прямоугольники десятого (их оказалось 6) и одиннадцатого (их было 22) порядков. Затем, уже не столь быстро, удалось еще больше расширить каталог и включить в него совершенные прямоугольники двенадцатого (их мы насчитали 67) и тринадцатого порядков.

Особенно приятно было вычислять совершенные прямоугольники, соответствующие цепям с высокой симметрией. Мы рассмотрели, например, цепь, образуемую ребрами проволочного куба с полюсами в двух его вершинах. Такая цепь не позволяет получить ни одного совершенного прямоугольника, однако если ее усложнить, включив в одну из граней куба диагональ, и расправить всю цепь, уложив ее на плоскость, то получится диаграмма Смита, изображенная на рис. 163.

Рис. 163

Ей соответствует совершенный прямоугольник, показанный на рис. 164.

Рис. 164

Этот прямоугольник особенно интересен тем, что его приведенные элементы необычно малы для тринадцатого порядка. Общий множитель полных элементов равен 6. Бруксу этот прямоугольник так понравился, что он решил сделать из него головоломку и разрезал на отдельные квадраты, которые нужно было складывать снова в прямоугольник.

Именно на этом этапе исследования мать Брукса и сделала открытие, которое послужило ключом к решению всей задачи. Она долго билась над разгадкой придуманной Бруксом головоломки, и в конце концов ей удалось сложить квадраты так, что они образовали прямоугольник. Но это был совсем не тот квадрируемый прямоугольник, который разрезал Брукс! Брукс поспешил вернуться в Кембридж, чтобы сообщить о существовании двух различных совершенных прямоугольников с одинаковыми приведенными сторонами и одинаковыми приведенными элементами. Перед нами снова была необъяснимая рекуррентная последовательность, да еще какая! «Выдающиеся математики» из Тринити-колледжа собрались на внеочередное заседание.

Нам и раньше приходил в голову вопрос, могут ли различные совершенные прямоугольники иметь одинаковую форму, и хотелось получить два таких прямоугольника, не имеющих общих приведенных элементов, чтобы таким образом построить совершенный квадрат. Идея построения ясна из рис. 165: две заштрихованные области означают два совершенных прямоугольника; добавив к ним два не равных между собой квадрата, мы могли бы получить большой совершенный квадрат. Но прямоугольники одинаковой формы до того времени не появились в нашем каталоге, и ничего не оставалось, как высказать сомнение в возможности их существования.

Рис. 165

Открытие миссис Брукс, несмотря на то что ее прямоугольники имели одинаковые приведенные элементы и были, таким образом, весьма далеки от идеала (прямоугольников одинаковой формы, не имеющих общих приведенных элементов), вновь возродило надежду.

На чрезвычайном заседании было много горячих споров. Однако лишь после того, как «выдающиеся математики» из Тринитиколледжа остыли настолько, что смогли начертить диаграммы Смита для исходного и найденного миссис Брукс прямоугольников, им стала ясна связь между тем и другим прямоугольником.

Второй прямоугольник показан на рис. 166, а его диаграмма Смита — на рис. 167.

Рис. 166

Ясно, что если в цепи, изображенной на рис. 163, отождествить узлы Р и Р', то она перейдет в цепь, которая изображена на рис. 167.

Рис. 167

Поскольку электрический потенциал в точках Р и Р' на рис. 163 одинаков, отождествление точек Р и Р' не вызовет никаких изменений ни в токах, текущих по отдельным ветвям цепи, ни в полном токе, ни в разности потенциалов между полюсами. Так было получено простое электрическое объяснение того факта, что два прямоугольника имеют одинаковые приведенные стороны и одинаковые приведенные элементы.

Почему потенциалы в точках Р и Р' на рис. 163 одинаковы? Ответ на этот вопрос также был найден до закрытия чрезвычайного заседания. Для объяснения равенства потенциалов в точках Р и Р' достаточно заметить, что всю цепь можно разбить на три части, которые пересекаются только в полюсах А1 и А2и узле А3. Одна из этих частей состоит из одного проводника, соединяющего А2 и А3. Вторую часть образуют три проводника, сходящиеся в точке Р', а третья состоит из остальных девяти проводников. Третья часть обладает вращательной симметрией: точка Р служит центром симметрии третьего порядка. Кроме того, токи могут входить в эту часть цепи и выходить из нее только через точки А1, А2 и А3, эквивалентные относительно поворотов на 120°. Этого свойства третьей части цепи достаточно, чтобы утверждать, что потенциал в точке Р равен среднему арифметическому потенциалов, приложенных в точках A1, А2 и А3, независимо от конкретных значений этих потенциалов. Проводя аналогичные рассуждения для точки Р', мы заключаем, что потенциал в точке Р' также должен быть равен среднему арифметическому потенциалов, приложенных в точках A1, А2 и А3. Следовательно, потенциалы в Р и Р' равны независимо от того, какие потенциалы приложены в точках А1, А2 и А3.

В частности, они равны и тогда, когда полюсы цепи выбраны в точках А1 и А2, а величина потенциала в точке А3 определяется правилами Кирхгофа.

Следующий шаг был случайно сделан автором этой книги. Как мы только что видели, открытие миссис Брукс полностью объясняется простым свойством симметричных цепей. У меня возникла мысль, что свойствами симметрии можно воспользоваться для построения других примеров пар совершенных прямоугольников с одинаковым набором приведенных элементов. Я не мог объяснить, каким образом это может помочь нам в достижении главной цели или в доказательстве невозможности построения совершенного квадрата, но считал, что от новых идей не следует отказываться, прежде чем мы не выясним связанные с ними возможности.