Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

И в том и в другом случае у вас останется 16 карт. Спросите у вашего зрителя, находится ли задуманное им число на карточке с верхним числом 2, и повторите только что проделанные операции, продев карандаш в отверстие D. После того как ваш карандаш побывает во всех отверстиях (а вы спросите, находится ли задуманное число на соответствующей карточке, и в зависимости от ответа оставите или отбросите надетые на карандаш перфокарты), у вас останется одна-единственная перфокарта. Пробитые на ней отверстия будут образовывать двоичную запись задуманного зрителем числа. Если хотите, на каждой карточке можно заранее напечатать соответствующее десятичное число. Тогда вам не надо будет каждый раз переводить числа из двоичной системы в десятичную.

В третьем фокусе перфокарты служат своего рода логической машиной, идея которой была впервые предложена английским экономистом и логиком Уильямом С. Джевонсом. В «логическом абаке», как назвал свое устройство Джевонс, используются деревянные дощечки с воткнутыми в них стальными булавками, за эти булавки дощечки можно вынимать из специальной рамки. Однако манипулировать с перфокартами ничуть не хуже, а изготовить их намного проще. Джевонс изобрел также и сложное механическое устройство, названное им «логическим пианино». Перфокарты позволяют исполнять на «логическом пианино» любое произведение.

Более того, в перфокартах заложены даже более широкие возможности, так как пианино позволяет учесть лишь четыре высказывания, а перфокарты — пять.

Пяти высказываниям А, В, С, D и Е соответствуют пять отверстий, каждое из которых в свою очередь означает двоичную цифру. Единица (или отверстие, прорезанное до края перфокарты) отвечает истинному высказыванию, нуль — ложному. Горизонтальная черточка над буквой означает, что данное высказывание ложно, в противном случае высказывание считается истинным. Каждая карточка представляет собой неповторяющуюся комбинацию истинных и ложных высказываний, а так как 32 карточки исчерпывают все возможные комбинации, их набор можно рассматривать как эквивалент так называемой таблицы истинности для сложных суждений, составленных из пяти элементарных суждений А, В, C, D и Е. Действие перфокарт лучше всего объяснить на примере, показывающем, как с их помощью можно решать задачи двузначной логики.

Следующая головоломка заимствована из одной Книги.

«Если Сара не должна выполнить поручение, его выполняет Ванда. Утверждения «Сара должна» и «Камилла не может» не могут быть истинными одновременно. Если Ванда выполняет поручение, то Сара должна, а Камилла может выполнить его. Итак, Камилла всегда может выполнить поручение. Правильно ли такое заключение?»

Чтобы решить эту задачу, возьмем колоду наших перфокарт (расположение карт в колоде роли не играет). Поскольку в условии задачи фигурируют лишь три высказывания, будем рассматривать только три отверстия А, В и С.

А — Сара должна.

А — Сара не должна.

В — Ванда выполняет поручение.

В — Ванда не выполняет поручения.

С — Камилла может выполнить поручение.

С — Камилла не может выполнить поручение.

Условие задачи состоит из трех посылок. Первая — «Если Сара не должна выполнить поручение, его выполняет Ванда» — сообщает нам, что комбинация А и В недопустима и мы должны изъять из колоды все карточки, на которых она встречается. Сделать это можно так. Введем карандаш в отверстие А и приподнимем его.

Все карточки, оказавшиеся на карандаше, соответствуют высказыванию А. Снимем их с карандаша, введем его в отверстие В и поднимем еще раз. На этот раз на карандаш будут надеты все карточки с запрещенной комбинацией А и В, и мы их отбросим.

Все остальные карточки сложим в одну колоду (порядок карточек и на этот раз роли не играет). Теперь мы готовы ко второй посылке: утверждения «Сара должна» и «Камилла не может» не могут быть истинными одновременно. Иначе говоря, комбинация АС недопустима. Просунув карандаш в отверстие А и подняв его, мы извлечем из колоды все карты с А, но это не те карты, которые нам нужны. Поэтому мы временно отложим их в сторону и обратимся к оставшимся картам, на которых значится А. Введя карандаш в отверстие С, извлечем карты с С. Именно на этих картахфигурирует недопустимая в силу второго условия комбинация АС, и их заведомо можно отбросить. Оставшиеся и временно отложенные карты объединяем в одну колоду.

Из последней посылки мы знаем, что если Ванда выполняет поручение, то его должна выполнить Сара и может выполнить Камилла. Немного подумав, можно понять, что это условие исключает две комбинации: АВ и ВС. Введем карандаш в отверстие А, поднимем и возьмем нанизанные на карандаш карты. Если теперь ввести карандаш в отверстие В этих карт, то, подняв карандаш, мы не обнаружим на нем ни одной карты. Это означает, что две предыдущие посылки уже сделали комбинацию АВ невозможной.

Поскольку все эти карты содержат недопустимую комбинацию АВ, их можно отбросить. Нам нужно еще исключить из остальных карт те, которые содержат комбинацию ВС. Введем карандаш в отверстие В и, вытащив карты с В, отложим их временно в сторону.

Продев карандаш в отверстие С оставшихся в колоде карт, мы не «выудим» из нее ни одной карты. Следовательно, недопустимая комбинация ВС уже была отброшена раньше.

Итак, у нас остается лишь восемь карт, на каждой из которых выписана комбинация А, В и С, совместимая со всеми тремя условиями задачи. При данных посылках этим комбинациям в таблице истинности отвечает значение «истина». Просмотрев все восемь карт, мы убедимся в том, что С на всех картах имеет значение «истина». Это и означает, что заключение о том, будто Камилла всегда может выполнить поручение, верно. Из тех же посылок можно вывести и другие заключения. Например, можно утверждать, что Сара должна выполнить поручение. Но интересный вопрос, выполнит его Ванда или нет, остается неразрешимой («двоичной») загадкой, во всяком случае при тех сведениях, которыми мы располагаем.

Для тех, кто хотел бы воспользоваться перфокартами для решения других задач, приведем одну несложную задачку. В доме живут: Абнер, его жена Верил и трое их детей — Клео, Дейл и Эллсуорт. Зима. Восемь часов вечера.

1. Если Абнер смотрит телевизор, то и жена его также смотрит телевизор.

2. Либо Дейл, либо Эллсуорт, либо оба смотрят телевизор.

3. Либо Верил, либо Клео, но не обе смотрят телевизор.

4. Дейл и Клео либо оба смотрят, либо оба не смотрят телевизор.

5. Если Эллсуорт смотрит телевизор, то Абнер и Дейл также смотрят телевизор.

Кто смотрит и кто не смотрит телевизор?

* * *

Профессор Априле прислал две фотографии, изображенные на рис. 179.

Рис. 179 Дополнительный ряд отверстий у нижнего края этих карточек позволяет безошибочно сортировать их.

Дополнительный ряд отверстий и прорезей у нижнего края каждой карточки позволяет быстро и безошибочно сортировать карты. Булавки, воткнутые в отверстия нижнего ряда, удерживают карты, остающиеся после изъятия части колоды с помощью булавок, воткнутых в отверстия верхнего ряда.

Ответ

Логическая задача решается с помощью перфокарт следующим образом.

Пусть А, В, С, D и Е означают: Абнер, Верил, Клео, Дейл и Эллсуорт. Каждое утверждение считается истинным, если соответствующее лицо смотрит телевизор, в противном случае оно ложно.

Условие 1 позволяет отбросить все карты с комбинацией АВ-; условие 2 —карты с комбинацией D-E-; условие 3 исключает комбинации ВС и В-С-; условие 4 исключает комбинации C-D и CD-; условие 5 исключает комбинации А-Е и DE-. Остается единственная карта с комбинацией A-B-CDE-. Отсюда мы заключаем, что Клео и Дейл смотрят телепередачу, а остальные члены семьи не смотрят ее.

Глава 36. ТЕОРИЯ ГРУПП И КОСЫ

Понятие «группы» — одно из основных понятий современной алгебры, охватывающее общие свойства самых разнообразных объектов различной природы и служащее неоценимым средством исследования в физике. Джеймс Р. Ньюмен сравнивал его с улыбкой Чеширского Кота:[57] когда Чеширский Кот (алгебра в том виде, как ее обычно преподают в школе) исчезает, остается только его абстрактная улыбка. Но улыбка подразумевает нечто веселое, занимательное. Может быть, теория групп покажется нам менее загадочной, если мы не будем воспринимать ее слишком серьезно.

Трое программистов — Эймз, Бейкер и Кумбс — хотят решить, кому из них платить за пиво. Разумеется, они могли бы бросить монетку, но предпочитают случайный выбор, основанный на игре, которая состоит в блуждании по некоторой сети линий. На листе бумаги проведены три вертикальные линии (назовем их основой).