Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

В статье Артина по теории кос[58] дается метод приведения любой косы к ее «нормальной» форме. Первая прядь «нормальной» косы полностью выпрямлена, вторая может охватывать первую прядь петлями, третьей пряди разрешается описывать петли вокруг первой и второй прядей и т. д. «Хотя доказано, что всякую косу можно привести к эквивалентной ей нормальной форме, — пишет Артин, — автор на собственном опыте убедился, что любая попытка осуществить предсказанное на живой персоне приводит лишь к бурным протестам с ее стороны и оскорбительным выпадам против математики».

Ответы

Три задачи «на расплетание» кос решаются следующим образом:

1. Пропустите подвеску под шнуром С справа налево, а затем под шнурами А и В слева направо.

2. Пропустите подвеску под серединой шнура В слева направо.

3. Пропустите подвеску под всеми шнурами слева направо.

Глава 37. ВОСЕМЬ ЗАДАЧ

1. Как разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные? Пусть дан тупоугольный треугольник. Можно ли разрезать его на меньшие треугольники так, чтобы все они были остроугольными? (Остроугольным мы называем треугольник, у которого все три угла острые. Прямой угол, разумеется, не является ни тупым, ни острым.) Если этого сделать нельзя, докажите почему. Если можно, то возникает новый вопрос: каково наименьшее число остроугольных треугольников, на которые его можно разрезать?

На рис. 186 показана типичная безуспешная попытка решить задачу. Треугольник разбит на три остроугольных треугольника, но четвертый треугольник оказывается тупоугольным, поэтому три предыдущих разрезания ничего не дают.

Рис. 186 Можно ли разрезать этот треугольник на остроугольные треугольники меньших размеров?

Эта задача представляет большой интерес, потому что вводит в заблуждение и заставляет делать неверные заключения даже очень сильных математиков. Удовольствие, которое я получил, размышляя над ней, побудило меня поставить другой вопрос. Чему равно наименьшее число остроугольных треугольников, на которые можно разрезать квадрат? В течение нескольких дней я был убежден, что минимальное число равно девяти, но потом вдруг увидел, что его можно понизить до восьми. Интересно, сумеете ли вы найти решение с восемью треугольниками. Может быть, вам даже удастся улучшить мой результат и разрезать квадрат на еще меньшее число остроугольных треугольников. Я не смог доказать, что восемь — это минимум, хотя сильно подозреваю, что это так.

2. Чему равен один «лунар»? Герои романа Герберта Уэллса «Первые люди на Луне» обнаружили, что наш естественный спутник населен разумными насекомообразными существами, обитающими в пещерах под лунной поверхностью. Предположим, что эти существа пользуются единицей длины, которую мы назовем «лунаром». Она выбрана так, что площадь лунной поверхности, лунарах, в частности, совпадает с объемом Луны в кубических лунарах. Диаметр Луны составляет 3476 км.

Скольким километрам равен один лунар?

3. Игра в гугол. В 1958 году Джон Г. Фокс-младший и Л. Джеральд Марни изобрели необычную игру, которую они назвали «гугол». Играют в нее так. Попросите кого-нибудь взять сколько угодно небольших листочков бумаги и написать на них различные положительные числа (по одному числу на каждом листке). Числа могут быть любыми: от самых маленьких дробей до «гугола» — числа, состоящего из 1 и ста нулей, — и даже больше. Листочки ваш партнер раскладывает на столе так, чтобы написанные на них числа были обращены вниз, и вы начинаете по очереди переворачивать их. Дойдя до числа, которое, по вашему мнению, является наибольшим из написанных, вы останавливаетесь. Возвращаться и выбирать числа на уже перевернутых листочках не разрешается.

Если вы перевернули все листочки, то выбрать можете только то число, которое стоит на самом последнем листке.

По мнению большинства, имеется по крайней мере пять шансов против одного, что вы не сможете указать наибольшее число. На самом деле, если вы будете придерживаться оптимальной стратегии, ваши шансы окажутся немного выше одной трети. Возникает два вопроса. Во-первых, в чем состоит оптимальная стратегия?

(Заметим, что она не совпадает со стратегией, стремящейся максимизировать значение выбранного числа.) Во-вторых, если придерживаться оптимальной стратегии, то как подсчитать вероятность выигрыша?

Если имеется только два листка бумаги, то вероятность выигрыша равна 1/2 независимо от того, какой листок вы выберете. С увеличением числа листков вероятность выигрыша (предполагается, что вы придерживаетесь оптимальной стратегии) убывает, но кривая быстро выходит на горизонтальную асимптоту и при числе листков, превышающем 10, изменяется очень мало. Вероятность выигрыша никогда не опускается ниже 1/3. Многие полагают, что, выбирая очень большие числа, они существенно усложняют задачу, однако, как показывает некоторое размышление, величина чисел не играет никакой роли. Необходимо только, чтобы числа на листках можно было расположить в порядке их возрастания.

Игра в гугол имеет много интересных применений. Вот, например, одно из них. Девушка решает выйти замуж до конца года.

Она надеется, что ей удастся встретить десять человек, которые сделают ей предложение (получив отказ, каждый из претендентов на ее руку не проявляет особой настойчивости и от дальнейших попыток добиться согласия своей избранницы отказывается). Какой стратегии следует ей придерживаться, чтобы увеличить свои шансы выбрать самого достойного из женихов? С какой вероятностью она добьется успеха?

Оптимальная стратегия состоит в том, чтобы, отвергнув некоторое число листков бумаги (или предложений), выбрать следующее число, которое превосходит наибольшее из отвергнутых чисел.

Требуется найти лишь формулу, которая бы показывала, сколько листков следует отбросить в зависимости от полного числа листков.

4. Марширующие курсанты и беспокойный терьер. Курсанты военного училища построены в каре (квадрат со стороной 15 м) и маршируют с постоянной скоростью (рис. 187).

Рис. 187 К задаче о марширующих курсантах и терьере.

Небольшой терьер, любимец роты, выбегает из середины последней шеренги (из точки А на рис. 187) и устремляется по прямой к середине первой шеренги (к точке В). Достигнув цели, он поворачивает и снова бежит по прямой к середине последний шеренги. К моменту его возвращения в точку А курсанты успевают пройти ровно 15 м.

Какое расстояние пробежал терьер, если предположить, что он двигается с постоянной скоростью, и пренебречь потерей времени при повороте?

Решив эту задачу, которая требует лишь знания элементарной алгебры, вы можете испытать свои силы в решении более сложного ее варианта, предложенного уже известным нам изобретателем головоломок Сэмом Лойдом. В этом варианте задачи щенок бегает не вперед и назад через строй марширующих курсантов, а с постоянной скоростью обегает по периметру квадрата (держась все время как можно ближе к своей роте). Как и в предыдущем случае, к моменту его возвращения в точку А курсанты успевают пройти 15 м.

Какое расстояние пробегает пес?

5. Пояс Барра. Стивен Барр поведал нам, что у его халата имеется длинный матерчатый пояс, концы которого срезаны под углом 45° (рис. 188).

Рис. 188 Пояс Барра и один из неправильных способов его укладки.

Готовясь к поездке, Барр сложил халат и хотел как можно туже скатать пояс, начав с одного конца, но косо срезанные концы оскорбляли свойственное ему чувство симметрии. Если он подворачивал уголок, чтобы конец пояса был прямым, то необычная толщина конца при скатывании пояса приводила к уродливым выступам и буграм. Барр пытался прибегнуть к более хитроумным способам, но безуспешно. Одна из таких неудачных попыток показана на рис. 188: на участке А пояс сложен втрое, а на участке В — всего лишь вдвое.

Все же Барру удалось в конце концов так сложить свой пояс, что каждый конец его был прямым, а весь пояс в сложенном состоянии имел форму прямоугольника и всюду одинаковую толщину, после чего его уже нетрудно было скатать в ровный, тугой рулон.

Как Барр сложил свой пояс? При решении задачи можно пользоваться длинной полоской бумаги, концы которой обрезаны под углом 45°.

6. Уайт, Блэк и Браун[59] Профессор математического факультета Мерль Уайт, профессор философии Лесли Блэк и секретарь деканата Джин Браун завтракали за одним столом.

— Разве не удивительно, — заметила девушка, — что наши фамилии Блэк, Браун и Уайт и что у одного из нас волосы черные, у другого — каштановые, а у третьего — совсем белые?