Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Старый фокус неизвестного происхождения, также связанный с разрезанием листа бумаги, показан на рис. 199.

Рис. 199 Старый фокус с разрезанием листа бумаги.

Обычно, показывая его, рассказывают историю о двух современных политических лидерах, один из которых пользовался всеобщей любовью, а другой — ненавистью. Оба скончались и предстали перед небесными вратами. У Плохого лидера, как водится, не оказалось никаких документов на право входа, и он обратился за помощью к стоявшему за ним Хорошему лидеру. Хороший сложил свой листок бумаги так, как показано на рис. 199, а — д, и разрезал сложенный лист по пунктирной линии. Часть листа, торчащую вверх слева, он оставил себе, а все остальное отдал Плохому лидеру. Святой Петр, взяв из рук Плохого лидера части листа, сложил из них слово «hell» — ад (рис. 199,е) и отправил Плохого по указанному адресу. Развернув часть листа, предъявленную Хорошим лидером, святой Петр увидел крест, изображенный на рис. 199,ок.

Неизогнутый ровный лист бумаги, очевидно, нельзя разрезать по прямой так, чтобы получились криволинейные фигуры, но если лист бумаги навернуть на конус и пересечь его плоскостью, то край листа в зависимости от угла наклона секущей плоскости будет иметь вид окружности, эллипса, параболы или гиперболы. Все эти кривые, как и должно быть, являются коническими сечениями и были изучены еще древними греками. Менее известен тот факт, что синусоиду можно построить очень быстро, если лист бумаги обернуть много раз вокруг цилиндрической свечи, а затем перерезать наискось и свечу и бумагу. Развернув обе половинки листа, вы увидите, что края вырезаны по синусоиде — одной из фундаментальных форм волнового движения в физике. Этот фокус полезен и для домашних хозяек, желающих украсить край бумаги, которой они застилают кухонные полки.

В заключение приведем две занимательные задачи на складывание и вырезание. В обеих задачах речь идет о построении кубов.

Первая из них легкая, вторая потруднее.

1. Полоска бумаги имеет в ширину 3 см. Какова длина самой короткой полоски, из которой можно сложить куб с длиной ребра 3 см? Сложенный куб должен иметь все шесть граней.

2. Квадрат белой бумаги со стороной 9 см выкрашен с одной стороны в черный цвет и расчерчен на девять квадратов, каждый из которых имеет размер 3x3 см. Если разрезы разрешается делать только по проведенным линиям, можно ли разрезать лист бумаги так, чтобы из него сложить куб, все шесть граней которого были бы черного цвета? Развертка куба должна состоять из одного куска.

Разрезать и складывать развертку по каким-либо прямым, кроме уже проведенных, нельзя.

* * *

Существуют, разумеется, самые разнообразные геометрические доказательства того, что сумма углов при вершинах трех изображенных на рис. 194 различных типов пятиконечных звезд равна 180°. Читателю полезно самому додуматься до них, хотя бы для того, чтобы оценить, насколько проще и нагляднее доказательство с помощью метода скользящей спички.

Ответы

Самая короткая полоска бумаги шириной 3 см, из которой можно сложить куб размером 3 х 3 см, имеет в длину 21 см. Как складывать полоску, показано на рис. 200.

Рис. 200 Как сложить куб с длиной ребра 3 см из полоски бумаги шириной 3 и длиной 21 см.

Если полоска с одной стороной выкрашена в черный цвет, то для того, чтобы сложить куб с шестью черными гранями, потребовалось бы взять полоску длиной 24 см.

Сложить куб с шестью черными гранями из квадратного куска бумаги, выкрашенного с одной стороны в черный цвет, можно многими различными способами. Для этого выкройка должна содержать не менее восьми квадратов, но положение отсутствующего (девятого) квадрата ничем не фиксировано. На рис. 201 показана выкройка, у которой вырезан центральный квадрат, и способ, позволяющий сложить из нее черный куб.

Рис. 201 Разрезав квадратный лист бумаги так, как показано вверху слева, вы сможете сложить куб, все шесть граней которого будут черного цвета. (Нижняя сторона листа бумаги окрашена в черный извет.)

Во всех решениях общая длина разреза равна пяти сторонам квадрата. (Если используется весь большой квадрат, то есть все девять маленьких, то длина разреза может быть уменьшена до периметра маленького квадрата.)

Глава 39. ИГРЫ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

«Играм присущи некоторые черты произведений искусства—писал Олдос Хаксли. — С их простыми и четкими правилами они предстают перед нами как островки порядка в хаосе и неразберихе эмпирического опыта. Когда мы играем в них сами или только наблюдаем, как в них играют другие, мы переходим из непостижимой вселенной данной реальности в маленький, строго упорядоченный мир, созданный человеком, где все ясно, целесообразно и легко доступно пониманию. Дух соревнования, примешиваясь к внутренней прелести игр, делает их еще более увлекательными, в то время как жажда выигрыша и яд тщеславия в свою очередь придают особую остроту соревнованию».

Хаксли говорил об играх вообще, но его замечания звучат с особой силой применительно к математическим играм на специальной доске типа шахматной, где исход игры определяют не ловкость рук и не слепая игра случая, как это происходит при игре в кости или карты, а чистое мышление. Игры эти столь же древни, как цивилизация, и столь же разнообразны, как крылья бабочек. Если учесть, что до недавнего времени эти игры служили лишь для «отдохновения» и освежения ума, то нельзя не признать, что человечество затратило на них фантастическое количество умственной энергии.

Ныне положение игр резко изменилось: они заняли заметное место в теории вычислительных машин. Вполне возможно, что самообучающиеся машины, «умеющие» играть в шашки и шахматы, явятся предшественниками самосовершенствующегося электронного мозга, способного достичь невиданных высот в развитии своих способностей.

Насколько известно, математические игры на специальных досках появились еще в Древнем Египте. Однако сведений о них дошло очень мало, так как их можно почерпнуть лишь из произведений искусства, а египтяне по традиции изображали все только в профиль. Правда, некоторые из таких игр были найдены при раскопках древнеегипетских захоронений (рис. 202), но их нельзя считать математическими играми в строгом смысле этого слова, поскольку они содержат элемент случайности.

Рис. 202 Игра «сенет», найденная при раскопках египетского захоронения 1400 г. до н. э. Видны подвижные фигуры.

Несколько больше известно об играх Древней Греции и Рима, но первая запись правил игры интересующего нас типа появилась только в XIII веке, а первые книги — лишь в XVII.

Подобно живым организмам, игры развиваются, размножаются, в процессе их развития появляются новые виды. Некоторые простые игры, например игра в крестики и нолики, могут оставаться неизменными в течение столетий; другие после непродолжительного периода расцвета исчезают навсегда. Ярким примером своего рода динозавра среди развлечений следует считать ритмомахию — чрезвычайно сложную числовую игру, в которую средневековые европейцы играли за двойной шахматной доской размером восемь клеток на шестнадцать фигурами, имевшими форму кружков, квадратов и треугольников. Первые сведения о ней встречаются еще в летописях XII века, а в XVII веке Роберт Бертон в своей книге «Анатомия меланхолии» упоминает ритмомахию как одну из популярных в Англии игр. Много ученых трактатов было написано о ритмомахии, но сейчас в нее не играет никто, кроме, может быть, некоторых математиков и специалистов по истории средних веков.

В Соединенных Штатах самыми популярными из игр, для которых необходима специальная доска, являются, конечно, шашки и шахматы. И те и другие имеют долгую и увлекательную историю, их правила время от времени претерпевают неожиданные «мутации» (вряд ли будет преувеличением сказать, что почти в каждой стране существовали свои, национальные разновидности этих игр).

В наши дни американские шашки ничем не отличаются от английских, но в других странах существуют многочисленные не сходные между собой варианты шашек. В большинстве стран Европы в основном приняты так называемые польские шашки (в действительности изобретенные во Франции). Играют в польские шашки на стоклеточной доске, каждый из противников имеет по двадцать пешек, брать пешку разрешается как ходом вперед, так и ходом назад. Пешки с короной (называемые не королями, как в шахматах, а королевами) могут ходить так же, как слон в шахматах. После взятия пешки противника такую «коронованную» пешку можно ставить на любое свободное поле за взятой пешкой. Игра пользуется огромной популярностью во Франции (где ее называют «dames» — «дамки») и в Голландии, ей посвящено много теоретических работ.