Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Представим себе, что и мы заплетаем девичью косу из трех прядей. Схематически последовательные перестановки прядей можно изобразить в виде сети (аналогичной той, которой мы пользовались в задаче о трех программистах), но при этом останется неясным, какие пряди оказываются сверху, а какие — снизу. Пригодна ли теория групп для описания действий, производимых нами при заплетании косы, с учетом этого усложняющего топологического фактора? Оказывается, вполне пригодна. Впервые это доказал немецкий математик Эмиль Артин. В его изящной теории кос элементами группы (их бесконечно много) служат «схемы переплетания», а групповой операцией, так же как в задаче о блуждании по сети линий, — последовательное применение одной схемы за другой.

Роль единичного элемента играет схема переплетения, состоящая из трех отдельных вертикалей — не переплетенных между собой прядей («косу еще не начинали заплетать»). Чтобы найти элемент группы, обратный какой-нибудь схеме переплетения, нужно просто взять зеркальное отражение этой схемы. На рис. 183 показана простенькая схема, взятая вместе с обратной ей схемой.

Рис. 183 Коса А — зеркальное отражение косы А'.

Если косу заплести сначала по «прямой», а потом по обратной схеме, то достаточно очевидно, что результат будет топологически эквивалентен заплетанию по единичной схеме: стоит лишь слегка потянуть за конец косы, изображенной на рис. 183, как все ее пряди расплетутся и выпрямятся. (Многие фокусы с распутыванием шнурков и веревочек основаны именно на этом небезынтересном групповом свойстве. Об одном из наиболее эффективных фокусов такого рода мы рассказали в главе 22.) В своей теории кос Артин не только впервые произвел классификацию всех мыслимых типов кос, но и предложил метод, позволивший узнавать, эквивалентны топологически или нет любые две сколь угодно сложные схемы переплетения.

Теория кос имеет самое непосредственное отношение к необычной игре, изобретенной все тем же датским поэтом, писателем и математиком Питом Хейном. Вырежьте из плотного картона кусочек в форме геральдического щита (рис. 184).

Рис. 184 Полный оборот подвески а по стрелке порождает косу б. Перевернув подвеску по стрелке еще раз, мы получим косу в.

Этот кусочек мы будем называть подвеской. Поскольку нам понадобится различать стороны подвески, их лучше всего раскрасить в разные цвета или одну из сторон пометить буквой X. У прямого края подвески проделайте три отверстия и, пропустив в каждое из них по отрезку тяжелого, но гибкого шнура длиной около 60 см, завяжите шнурки узлом (великолепно подходит для этих целей крученый шнур, из которого делают пояса). Другой конец каждого шнура привяжите к какому-нибудь неподвижному предмету, например к спинке стула.

Подвеска, как нетрудно видеть, может совершать полные обороты шестью различными способами: ее можно поворачивать на 360° вокруг вертикальной оси; поворачивать вокруг прямого края на себя или от себя, продевая ее между шнурами А и В; поворачивать также вокруг прямого края на себя или от себя, но продевать при этом между шнурами В и С. Во всех шести случаях получаются разные косы. Коса, которая «заплетается» при пропускании подвески между шнурами В и С, показана на рис. 184,б. Возникает вопрос, можно ли расплести эту косу, продевая подвеску между шнурами подобно ткацкому челноку и все время держа ее в плоскости рисунка— так, чтобы сторона, помеченная буквой X, была обращена к зрителю, а острый «носик» смотрел на вас (предполагается, что, читая, вы держите книгу на столе перед собой)? Оказывается, что реворачивание разрешается производить в любом направлении как на себя, так и от себя), всегда можно расплести, действуя подвеской как ткацким челноком, без новых поворотов ее; если же коса получилась оттого, что подвеска совершила нечетное число полных оборотов, то расплести ее без дополнительных оборотов подвески никогда не удастся.

Хейн впервые услышал об этой теореме в начале тридцатых годов на одном семинаре в Институте теоретической физики Нильса Бора, когда П. Эренфест обсуждал ее в связи с какой-то проблемой квантовой теории. С помощью ножниц, принадлежавших супруге Бора, и нескольких веревочек, привязанных к спинке стула, Хейну и другим участникам семинара удалось найти доказательство этой теоремы. Позднее Хейну пришло в голову, что вращающееся тело и окружающая его вселенная входят в задачу симметрично, поэтому симметричную модель можно было бы построить очень просто, привязав по подвеске к каждому концу шнура. Имея такую симметричную модель, можно вдвоем играть в топологическую игру. Каждый участник берет свою подвеску; между подвесками протянуты три шнура. Один из игроков заплетает косу, а второй, расплетая ее, засекает необходимое для этого время, затем игроки меняются ролями. Тот, кто расплетет косу быстрее, считается победителем.

Теорема о четном и нечетном числе поворотов подвески, очевидно, применима и к этой игре. Начинающим рекомендуется ограничиться косами, при заплетании которых подвеска совершает два полных оборота, и лишь потом, попрактиковавшись и набив руку, переходить к более сложным косам четного порядка. Хейн назвал свою игру «танглоид». В течение ряда лет она была очень популярна в Европе.

Почему между четным и нечетным числом полных оборотов подвески существует такое различие? На этот весьма непростой вопрос трудно ответить, не вдаваясь более глубоко в теорию групп.

Некоторое представление о причинах такого различия можно получить, заметив, что два поворота в противоположных направлениях—это то же самое, что ни одного поворота. Если два оборота почти противоположны и отличаются только тем, что при совершении их подвеска была пропущена между различными парами шнуров, то косу можно расплести, продев подвеску между шнурами так, чтобы уничтожить это различие. Пользуясь теорией кос, можно доказать, что при нечетном числе оборотов подвески пряди распутать нельзя.

Заплетать косы, поворачивая подвеску наугад четное число раз, а затем быстро расплетать их — занятие увлекательное. На рис. 185 показаны три простые косы, каждая из которых заплетена лишь двумя полными оборотами подвески.

Рис. 185 Три задачи на расплетание кос.

Косу в случае а получили, дважды пропустив подвеску между шнурами В и С (оба раза от себя); в случае б — продев подвеску между шнурами В и С от себя, а затем между шнурами А и В в обратном направлении. Коса в случае в заплелась от того, что подвеску два раза повернули слева направо вокруг вертикальной оси. Читателю предоставляется самому найти лучший способ расплетания каждой из этих кос.

* * *

При изготовлении «реквизита» для танглоида подвеску лучше вырезать не из картона, а из деревянной дощечки или пластика.

Вместо трех отдельных шнуров Хейн рекомендует брать один длинный шнур. Шнур нужно пропустить через первое отверстие первой подвески и привязать к ней, чтобы он не выскальзывал. Затем его нужно продеть сквозь первое отверстие второй подвески и, пропустив в обратном направлении через среднее отверстие все той же второй подвески, продеть через среднее отверстие первой подвески, после чего продеть в обратном направлении через третье отверстие первой подвески и, продев сквозь третье отверстие второй подвески, завязать свободный конец шнура узлом. Шнур свободно может проскальзывать в отверстия, что облегчает все манипуляции по сравнению с конструкцией, в которой используются три отдельных шнура. Один читатель сообщил нам, что он соединил свои подвески тремя отрезками гибкого шнура и обнаружил, что это также облегчает все манипуляции. Игру можно усложнять, вводя все новые и новые шнуры, но и при трех шнурах она весьма непроста.

Из рис. 182 видно, что описывающая танглоид группа неабелева (то есть некоммутативна). Таблицы для абелевых групп симметричны относительно диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол. Иначе говоря, треугольные части таблицы, лежащие по обе стороны этой диагонали, служат зеркальным отражением одна другой.

Если в игру с блужданием по сети линий «основы» и «утка» играют не втроем, а вчетвером, то ее группой будет группа перестановок четырех символов. Эта группа не совпадает с группой, описывающей повороты и отражения квадрата, потому что некоторые перестановки вершин квадрата нельзя получить с помощью одних лишь поворотов и отражений. Преобразования квадрата образуют «подгруппу» группы перестановок четырех символов. Все конечные группы (то есть группы с конечным числом элементов) либо являются группами перестановок, либо входят как подгруппы в какую-нибудь из групп перестановок.