Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

числа. Одно из них всегда четное, значит, это выражение делится на 2.

Получается замечательная вещь. Квадрат любого нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8. Это — очень важный факт. Но в нашем случае важен остаток при делении на 4.

Вернемся к нашему уравнению

х2 + у2 = z2 (7)

(так как это — формулировка теоремы Пифагора, то такие прямоугольные треугольники со сторонами х, у, z, где х, у, z — целые числа, называются «пифагоровыми»).

Прежде всего сократим все на 2.

Делим на 2 все три числа, пока они синхронно будут делиться. Затем, заодно, разделим все три числа на все их прочие общие простые множители. Так мы опишем не все треугольники, а только качественно разные. Поясним сказанное, воспользовавшись понятием подобия треугольников.

Если два треугольника подобны, то тройки их сторон пропорциональны друг другу. Интересно в каждом семействе подобных друг другу пифагоровых треугольников найти самый маленький треугольник с целыми сторонами. Потом мы сможем умножить найденное решение (x, y, z) на любое целое положительное число. Треугольник увеличится, но останется пифагоровым.

У этого самого маленького треугольника не будет делимости ни на одно простое число у всех трех сторон одновременно. Но и длины двух сторон не могут делиться, например, на 2, иначе длина третьей стороны тоже будет обязана делиться на 2, так как выполняется равенство (7). Если делятся слагаемые, то делится и сумма, значит, можно сократить все три числа.

То есть у минимальных троечек из этих трех чисел на 2 может делиться только одно. Аналогично и на любое другое простое число может делиться длина не более одной из трех сторон.

Оказывается, что не подходит тот вариант, когда х, у, z — все нечетные числа. В самом деле, предположим, что все числа нечетные. х2 — нечетное, у2 — нечетное. Следовательно, z — четное (так как сумма нечетных чисел всегда четна). Значит, все-таки одно (и только одно) из х, у, z должно делиться на 2.

А могут х и у быть нечетными? Нет, потому что у квадратов при делении на 4 будет остаток 1, а их сумма даст остаток 2, но z — четное, поэтому его квадрат при делении на 4 должен дать в остатке 0. Значит, в любой пифагоровой тройке после ее максимального сокращения число z будет нечетным. Для примера возьмем тройку (30, 40, 50). Она сводится к тройке (3, 4, 5), где 5 — нечетное число.

 Значит, одно число из x и y должно быть четным, другое — нечетным. Можно считать, что x — четное.

А теперь начинается ключевой момент доказательства, не очень сложный, но крайне важный, так как он работает при решении многих диофантовых уравнений.

Раз x — четное число, то x = 2k при целом k. B этом случае уравнение будет иметь вид 4k2 + y2 = z2.

Перекинем y2 направо: 4k2 = z2 − y2, то есть

Так как z и y — нечетные числа, то их разность и сумма — четные числа. Поэтому (z − y)/2 и (z + y)/2 — целые числа.

Получилось, что k2 равно произведению некоторых двух целых чисел.

А теперь смотрите, мы договорились, что достаточно искать такие тройки, в которых ни у какой пары чисел нет общих делителей. Поэтому у и z не имеют общих множителей, y = p1p2p3 ... pa, z = q1q2q3 ... qb, и эти наборы простых чисел разные. Как говорят математики, в этом случае у и z взаимно просты. Сами они при этом совершенно не обязательно простые. Например, 15 = 3 · 5 и 22 = 2 · 11, следовательно, 15 и 22 — взаимно простые числа, хотя ни одно из них не является простым.

Теперь я утверждаю, что (z − y)/2 и (z + y)/2 также взаимно простые, то есть не имеют ни одного общего множителя. Почему? Предположим, что у них есть общий делитель. Например, они делятся на 3. Тогда, их сумма и разность тоже делятся на 3. Но

Получается

, то есть у, z оба делятся на 3. Мы пришли к противоречию. Значит, (z − y)/2 и (z + y)/2 тоже не имеют общих делителей.

 Вернемся к нашему выражению

Числа справа состоят из разных простых делителей. В каждое из чисел простые множители могут входить хоть поодиночке, хоть в степенях, но пересечений между разложениями (z − y)/2 и (z + y)/2 нет. Например,

(Вместо 5 и 7 здесь могут быть любые степени.)

С другой стороны, k2 = q12q22 ... qf2, поэтому

Согласно основной теореме арифметики, существует единственное разложение натурального числа на простые множители с точностью до порядка сомножителей. Значит, по обе стороны от знака равенства стоят наборы одинаковых простых чисел. В частности, q12 равен произведению двух чисел из правой части.

Так как пересечений простых множителей в наборах  p1,..., pk и w1,..., wm нет, то этот квадрат целиком «сидит» в одном из наборов. Но то же самое можно сказать и про все прочие квадраты!

Поэтому все простые числа набора pi входят в разложение числа (z − y)/2 в четных степенях, и то же самое верно для набора wj. Следовательно, числа (z − y)/2 и (z + y)/2 являются квадратами[34].

Это очень сильное утверждение (потому что квадратов очень мало среди натуральных чисел). 1, 4, 16, 25, 36, 49… — они встречаются все реже.

Введем новые обозначения. Так как наши выражения — квадраты, то обозначим:

Тогда

Вспомним, чему равен x: x = 2k.

Видно, что k = mn, следовательно, x = 2mn.

Итак, мы доказали, что если x, y, z являются целыми сторонами прямоугольного треугольника (минимального в серии подобных пифагоровых треугольников), то существует пара целых чисел n и m с таким свойством, что x равен удвоенному произведению этих чисел, у — разности квадратов этих чисел, а z — сумме квадратов этих чисел. Это — обязательное условие:

x = 2mn,

y = m2 − n2,

z = m2 + n2.

Остается вопрос: можно ли брать m и n