Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Итак, с одной стороны оставшаяся площадь равна а2 − b2. С другой стороны (а − b)(а + b). Значит, a2− b2 = (а − b)(а + b). Тождество доказано.

А что такое прямой угол?

Слушатель: 90 градусов.

А.С.: А если кто-то прилетел с Марса, как ему объяснить, что значит «прямой угол»?

Есть безупречное определение прямого угла. Это такой угол, который, если вырезать его из бумаги и приставить к самому себе, даст развернутый угол (рис. 133).

Рис. 133. Слева — исходный угол, справа — приставлена к нему копия этого угла, вырезанного из бумаги. А внизу получилась сплошная прямая линия. Как говорится, ясно даже марсианину…

Развернутый угол — это прямая. Прямой угол — это половина развернутого угла. Это выводит нас на очень интересный вопрос: что имел в виду Евклид, когда писал, что все прямые углы равны между собой? Что такое «равны»? Есть одно очень важное понятие — движение. Движение — преобразование, которое сохраняет расстояние между парами точек. Мы всегда можем померить расстояние между точками на плоскости. Потом мы можем плоскость поворачивать, отражать, двигать — главное, чтобы расстояние между точками не менялось. Так вот «равны» — это всегда означает «совмещаются движением».

В 1872 году знаменитый немецкий математик Феликс Клейн выступил с так называемой «Эрлангенской программой». Он сказал, что геометрия — это наука о том, какие свойства фигур не меняются при «разрешенных преобразованиях». В частности, школьная геометрия — это наука о том, какие свойства фигур не меняются при движениях. Но преобразования бывают и более общего рода: растяжение, инверсия. Есть много разных преобразований. И высокая геометрия, геометрия Лобачевского, сферическая геометрия — это всё примеры того, как мы следуем Эрлангенской программе Клейна. То есть геометрию можно охарактеризовать как науку о свойствах фигур, которые не меняются при преобразованиях.

Я хотел охарактеризовать прямоугольные треугольники. Эта задача, несмотря на то, что ее полностью решили еще в античном мире, — не самая простая. Вы быстро найдете несколько примеров целых сторон, для которых верно с2 = а2 + b2. Ну, скажем, вот а = 3, b = 4, с = 5:

9 + 16 = 25.

Давайте посмотрим, сможем ли мы угадать еще какие-нибудь тройки? Посмотрим на картинку, которую тоже должны изучать в школе (в древнегреческой школе она была!).

Рис. 134. Справа — столбики различной высоты (по-гречески «гномоны»). Высота измеряется числом клеточек, помещающихся в столбик, и указана внутри них. Каждый гномон, начиная со второго, «заворачиваем» на 90 градусов (слева). Его площадь от этого не изменится! Вот и получилось доказательство замечательной теоремы: «Сумма нечетных чисел от 1 и до 2n − 1 равна n2».

Картинка на рис. 134 помогает понять тот факт, что сумма 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … на любом шаге вычислений дает квадрат натурального числа. Одновременно это — способ увидеть, чем отличаются друг от друга два соседних квадрата. А именно, два соседних квадрата всегда отличаются на нечетное число.

Но нечетные числа тоже иногда бывают квадратами, например, 9 — это 32.

Значит, в момент, когда между соседними квадратами слой состоял из 9 квадратиков, у нас очевидным образом появилось решение соответствующего уравнения Диофанта.

Подобным же способом можно получить бесконечное множество таких троек. Все эти тройки будут иметь следующий специальный вид: (a, b, а + 1). Здесь b — нечетное число, обладающее тем свойством, что в изогнутой полоске между квадратом размера а на а и квадратом размера (a + 1) на (a + 1) умещается ровно b2 маленьких квадратиков (см. рис. 135).

То есть между а2 и (а + 1)2, между этими квадратами, иногда разница будет являться квадратом. И именно тогда, когда нечетное число будет случайно оказываться квадратом, будет появляться новая тройка решений уравнения Диофанта.

Какое следующее нечетное число будет квадратом? 25. Давайте посмотрим, чему равна тогда разница между соседними квадратами. На сколько клеточек отличаются а2 и (а + 1)2? На 2а + 1.

Рис. 135. Поиск одной серии решений уравнения a2 + b2 = c2.

Теперь мы хотим, чтобы 2а + 1 было равно этому нашему числу 52, то есть 25,

2а + 1 = 25, а = 12.

Итак, мы получили новую тройку: 122 + 52 = 132. Без сомнения, ведь 144 + 25 = 169.

Следующий нечетный квадрат 49. Появится решение 24, 7 и 25.

Кто-нибудь из вас спросит меня: «Может быть, это всё?» Мы получили бесконечный ряд решений уравнения а2 + b2 = с2 в целых числах. Но они все устроены одинаково. Гипотенуза отличается от большего катета на 1.

Вопрос: а есть какие-нибудь другие решения? Ответ: да. Очень много других серий. Вот вам одно из решений, устроенных иначе: 84, 187, 205.

Общая формула для всех решений — это отдельная история.

Лекция 3

Сказки о тройках

А.С.: Сейчас мы немного вернемся к теореме Ферма и Диофанту с его тринадцатью томами. Шесть сохранившихся томов, как я уже рассказывал, были изданы, после чего попали в руки Ферма. Ферма читал труд Диофанта и оставлял замечания на полях книг. Так вот, в том месте, где Диофант полностью разбирает классическую задачу о прямоугольных треугольниках, рукой Ферма была на полях сделана заметка: «В то же время никак нельзя разложить куб в сумму двух кубов». На нашем языке это звучит так: уравнение вида x3 + у3 = z3 не имеет решений в целых числах.

Далее у Ферма стоит запятая, и он продолжает: «Никакую четвертую степень — на сумму двух четвертых степеней, и вообще никакую фиксированную степень — в сумму двух таких же степеней». Далее он пишет восхитительную фразу, за которой математики гонялись 357 лет. Он пишет: «Я нашел тому факту поистине удивительное доказательство, но поля этой книги недостаточно широки, чтобы его вместить». Эта запись рукой Ферма была в экземпляре трудов Диофанта. Этот комментарий был единственным случаем в истории, когда утверждение Ферма не удалось доказать за разумный период времени, спустя 20–30 лет. Один раз Ферма ошибся, но он не утверждал определенно. В случае с простыми «числами Ферма» он написал «по-видимому,