Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

то в левой части p выносится за скобку, и z тоже будет делиться на p. Тогда можно сократить обе части уравнения на максимальную степень числа p и получить какой-нибудь из двух описанных случаев.)

Софи Жермен далеко продвинулась в регулярном случае. Она доказала, что уравнение регулярного типа хр + ур= zp не имеет решения для всех таких простых p (нечетных, то есть всех, кроме p = 2), что 2р + 1 — тоже простое.

Весь XIX век длилась борьба за разные простые показатели, и методология доказательств была типовая. Выражения раскладывали на множители типа

х3 + у3 = (х + у)(x2 − xу + у2).

Если вы не помните эту формулу из школы, можете ее проверить, раскрыв скобки. Дальше незадача: (x2 − ху + у2) на множители не раскладывается — по той же причине, по которой не раскладывается x2 + у2. А как было бы хорошо разложить его и в одну строчку получить решение! Но это возможно только с комплексными числами, а с действительными, привычными нам — это невозможно. Все дороги, которые ведут в настоящую математику — идут через комплексные числа. Это сложно, но интересно и красиво. К комплексным числам мы вернемся в конце этой лекции.

Сейчас я хочу доказать математически, что два вышеупомянутых выражения x2 + у2 и x2 − ху + у2 не могут быть разложены на множители. Для этого я использую сложный, но наглядный путь через введение в алгебраическую геометрию.

Докажем неразложимость х2 + у2. Допустим, что его можно разложить на множители (где α, β, γ и δ вещественные числа):

х2 + у2 = (αх + βу)(γx + δy).

Рассмотрим, какие множества на плоскости задают правая и левая части уравнения:

х2 + у2 = 0 и (αх + βу)(γx + δy) = 0.

После работ Декарта мы знаем, что х и у можно считать координатами на плоскости. Уравнение х2 + у2 = 0 задает нам только одну точку (0, 0). Почему? Потому, что квадраты не могут быть отрицательными. Если одна из переменных положительна, например х, то выражение х2 больше нуля, но квадрат второй переменной — не меньше нуля, следовательно, сумма будет больше нуля. Не получается. Если сумма равна нулю, значит х и у оба равны нулю.

Рассмотрим второе уравнение:

(αх + βу)(γx + δy) = 0.

Оно задает нам две прямые. Иногда они могут совпадать.

Рис. 136. Для левого уравнения получается всего одна точка, для правого — или две прямых, или одна.

Получается, что с одной стороны у нас две прямые (в случае их совпадения одна), а с другой стороны точка (см. рис. 136).

Если бы х2 + у2 раскладывалось на множители, то второе уравнение должно было бы определять то же множество на плоскости, что и первое. Но так как эти множества не совпадают, то сумму квадратов нельзя разложить на множители.

Вот вам пример методов классической алгебраической геометрии. Если я захочу изучать уравнение от трех переменных x, у и z, то получится уже трехмерное пространство. А если у меня 26 переменных? Нам понадобится 26-мерное пространство. Нужно иметь воображение и жить в многомерном пространстве. Представьте, что вы выходите на улицу и переходите дорогу на красный свет. Вас может сбить машина, но стоит вам перейти в четырехмерное пространство, и вам станут безразличны все светофоры, так как машины будут проезжать сквозь вас, и даже не будут замечать этого. А ведь вы сделали только один шаг по четвертой оси координат!

Немного сложнее доказать, что не раскладывается на множители х2 − ху + у2. Допустим, что

x2 − ху + у2 = (αх + βу)(γх + δу).

Посмотрим на множество x2 − ху + у2 = 0.

Умножим всё на 4, затем преобразуем:

4x2 − 4xу + 4у2 = 0,

4x2 − 4xу + у2 + 3у2 = 0.

Свернем 4x2 − 4xу + у2 = (2x − у)2 по формуле Бинома Ньютона.

Получим (2x − у)2 + 3у2 = 0.

Если сумма квадратов равна 0, значит, каждый из них равен 0. Значит, во-первых, 3у2 = 0, то есть у = 0. А во-вторых, (2x − у2) = 0, то есть 2x − у = 0, откуда в силу у > 0 имеем x > 0. То есть это уравнение задает точку (0; 0). Но (αх + βy)(γx + δу) по-прежнему задает две прямые (в крайнем случае, одну). Множества опять не совпадают. Значит, разложить x2 − xу + у2 на множители нельзя.

Зачем мы это делаем? Я снова сделаю переход от истории к математике.

Вернемся к x2 + у2 = z2. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Первый способ решения называют «формулой индусов», т. к. полагают, что еще древние индусы знали это решение.

Давайте посмотрим, какие бывают варианты для четности или нечетности x, у и z? Если число четное, оно имеет вид 2k, тогда его квадрат имеет вид (2k)2 = 4k2 и он делится нацело на 4. (В некоторых книгах факт делимости изображается так:

)

Если число нечетное, то его можно представить в виде выражения 2k + 1 для некоторого целого k, и тогда

(2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1.

4(k2 + k) + 1 — не просто нечетное число. Это число, которое при делении на 4 имеет остаток 1.

Какие бывают остатки при делении на 4? 1 и 3 у нечетных чисел и 0 и 2 у четных. Так вот, выведенные формулы показывают, что у квадратов всегда остатки либо 0, либо 1. Например,

02 = 0, 12 = 1, 22 = 4,

то есть ноль при делении на 4, далее — 9, 16, 25, 36, 49 (с чередованием остатков 1 и 0 при делении на 4).

Тут есть еще один более глубокий «фокус-покус»:

где 

всегда целое число. В числителе стоят два подряд идущих