Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

x(1 + k2) = 2k; х = 2k/(1 + k2),

Из этих формул видно, что если k — рациональное число, то у и х — тоже рациональные. Рациональные числа — это числа, с которыми можно производить действия арифметической природы — плюс, минус, разделить, умножить. Рациональные числа от этого остаются рациональными (то есть эти действия не выводят нас за пределы множества рациональных чисел).

Что значит «k — рациональное число»? Это значит, что k = m/n. Подставим вместо k дробь m/n, считая, что m, n — положительны, причем m > n, а дробь m/n несократима:

Осталось вспомнить, что в исходном уравнении х = а/с и у = b/с. Поэтому можно взять в качестве а числитель первой дроби, в качестве b — числитель второй дроби и в качестве с — их общий знаменатель. Получится: а = 2mn, b = m2 − n2, с = m2 + n2. Одно из решений получается сразу, а прочие ему пропорциональны. Мы имеем тот же ответ, что и при первом способе решения. Внешне два метода, которыми мы решали эту задачу, совершенно не связаны друг с другом. Координаты и окружность нам показывают, какие множества высекают на плоскости те или иные алгебраические уравнения. А в первом способе была делимость и основная теорема арифметики. Она, являясь исключительно арифметическим приемом, не имеет никакого отношения к геометрии. Стоит сказать, что если бы математики приходили к разным результатам, решая одну и ту же задачу разными методами, то математика не была бы наукой. На деле же математика — это одно большое знание, связывающее разные методы между собой одним и тем же ответом.

Как видим, пифагоровы тройки нами разбиты «в пух и прах», но ость одна незадача. При k = 0 получается прямая, параллельная оси х (см. рис. 141).

Рис. 141. Совпадение двух точек пересечения.

И вторая точка пересечения оказывается равной первой. Это как раз и отражает эффект касания. Алгебраические геометры, когда говорят о касании, всегда имеют в виду кратный корень, то есть корень, в котором совпали вместе несколько бывших некратных решений.

Есть еще один любопытный момент. Есть еще одна рациональная точка, которую мы не заметили на окружности. Точка (0, 1). Это решение появится у нас при k = ∞.

Если мы хотим параметризовать окружность с помощью рациональных чисел, нужно, чтобы каждому рациональному числу соответствовала одна, и только одна точка на окружности. У нас же получается так, что на окружности есть лишняя точка, которая ни одному рациональному k не соответствует. В таком случае математики рассматривают не обычную прямую, а проективную. Мы уже сталкивались с проективной геометрией. В задаче на построение с помощью линейки у нас точка пересечения пучка прямых уходила в бесконечность.

Таким образом, методы алгебраической геометрии часто связаны с проективной геометрией.

А теперь третий метод решения той же задачи — комплексные числа. Мы разберем его на следующей лекции, а сейчас — обещанное введение в арифметику комплексных чисел.

Очень хочется разложить на множители х2 + у2. Мы умеем раскладывать разность квадратов. Попробуем представить нашу сумму в виде разности:

x2 + y2 = x2 − (−y2).

Если бы я мог извлечь корень из −у2, то смог бы разложить это выражение следующим путем:

В обычной жизни корень из −1 не извлекается, но с помощью комплексных чисел это возможно. Пока мы исходим из желания получить комплексное число наиболее естественным образом. Мы хотим разложить сумму квадратов на множители. Давайте считать, что есть такое число √−1, обозначим его за i. √−1 = i. Тогда

х2 + у2 = х2 − (−у2) = х2 − i2 у2 = (х − уi)(х + yi).

Это критически важно для многих задач. Например, для задачи о том, какие простые числа раскладываются в сумму двух квадратов. Число 41 — простое. Оно является суммой двух квадратов: 25 + 16; 41 = 52 + 42. Если мы умеем раскладывать такую сумму на множители, то у нас получатся любопытные вещи: 41 = (5 + 4i)(5 − 4i). Мы попадем в знакомую ситуацию, связанную с разложением числа 41 на множители, только теперь эти множители — числа новой природы.

Число i — не является вещественным (то есть не лежит на обычной числовой прямой и не может использоваться для измерения физических величин) и, если мы нарисуем вещественную ось, оно будет находиться где-то вне нашей оси. Мы можем выбрать сами, где его поместить. Удобнее всего поместить i на вертикальной оси, выбрав некоторую плоскость, содержащую обычную вещественную ось (см. рис. 142).

Рис. 142. Вот где притаилось загадочное число i.

Тогда получится, что любое число х + yi «живет на плоскости» в точке с координатами (х, у). Если мы хотим ввести в рассмотрение некоторую новую сущность, которая в квадрате дает минус единицу, то нам нужно уметь это число умножать на любые действительные числа. И такие произведения yi = z никогда не могут быть обычными числами, иначе само i = z/y превращалось бы в обычное число. А мы уже убедились в том, что i имеет «невещественную» природу. Кроме того, мы должны уметь выполнять действия сложения и вычитания между обычными (вещественными или действительными) числами и числом i.

Давайте посмотрим. Беру вещественные числа и составляю выражения:

(х + yi); (z + ti).

Вопрос: в каком случае эти два выражения задают одно и то же число? Попробуем действовать по привычным правилам.

х + yi = z + ti,

х − z = ti − yi,

x − z = i(t − y).

Если t = у, то из последнего равенства имеем х = z.

Если t ≠ у, то получаем выражение

i = (x  − z)/(t − y).

Этого не может, быть, так как (x  − z)/(t − y) —  вещественное число. А число i — НЕ вещественное. Противоречие. Значит, х + yi и z + ti равны тогда и только тогда, когда х = z и t = у одновременно.

Из этого следует, что каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число.

Продолжение в следующей лекции (то есть в лекции 4 части 2).