Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Как сложить две точки (и что из этого выйдет)

А.С.: Сегодня мы будем заниматься комплексными числами. Но для начала интересная зарисовка из теории вероятностей. Если бы нас было человек 30, я бы поставил 5 мороженых к 1, что у двоих из здесь присутствующих совпадут дни рождения. На самом деле граница проходит на числе 23. Если в аудитории 23 человека, то вероятность совпадения хотя бы двух дней рождения примерно равна 50%. Правда, совпадут только месяц и число рождения, но не обязательно год. Для людей, которые об этом не задумывались, это совершенно удивительный факт. Вроде бы всего 23 человека, как же такое может быть? Но математика открывает этот секрет.

Еще один интересный сюжет: два человека решили встретиться в метро на станции Кропоткинская. Но вышло так, что они не договорились о времени. Известно лишь, что они свободны между 9 и 10 утра. Стратегия у них такая: человек приходит и ждет 15 минут. Если не дождался, уходит. Вопрос: что вероятней, встретиться или разминуться? Чему равна вероятность того, что они встретятся?

«Математическая» теория вероятностей на эту тему говорит следующее. Давайте расположим на плоскости все возможные исходы в этой «игре».

По оси х будем откладывать момент прихода первого, а по у — второго (в минутах после 9 часов). Получившийся квадрат называется фазовым пространством задачи (рис. 143). А вот если первый может появиться в любой момент от 9 до, например, 11 часов, то фазовое пространство будет не квадратом, а прямоугольником. Так как и момент появления первого, и момент появления второго совершенно непредсказуемы в рамках промежутка с 9 до 10, следует представлять себе, что и квадрат (слева), и прямоугольник (справа) покрыты равномерной сетью из большого количества точек.

Рис. 143. Два разных фазовых пространства.

Теория вероятностей постоянно оперирует с понятием «зависимости» и «независимости» нескольких случайных величин. Здравый смысл подсказывает, что наши события (то есть приход 1-го и приход 2-го) независимы. Тогда все исходы, т. е. пары (время прихода первого и время прихода второго) равновероятны. Мы сейчас нарисуем зону, в которой друзья встретились, и посмотрим, какая у нее площадь (для левой части рис. 143).

Если они пришли в один и тот же момент, то из таких точек мы получим диагональ одинаковый момент прихода. Ясно, что они встретятся (и время ожидания будет равно 0).

А если они немножко отклонились от диагонали влево/вправо? Тогда тоже встретятся, потому что один из них пришел немножко раньше другого и дождался второго. Надо понять, на какое самое большое число минут им можно отклониться друг от друга по времени прихода, чтобы встреча еще произошла? На 15 минут. На одну четверть часа. Иначе будет как в известной песне[35].

Мы получили границы зоны встречи. Что происходит на границе? Первый пришел, например, в 9 часов 50 минут, а второй в 9:35. Тогда второй, который пришел в 9:35, уже собирался уходить, и тут появился первый.

Теперь надо посчитать площадь «встречи» (то есть участка квадрата, описывающего пары моментов прихода, при которых встреча произойдет) и поделить ее на общую площадь фазового пространства. Вычислим сначала площадь оставшейся части для случая квадрата (рис. 144).

s = (3/4)2 = 9/16

— площадь оставшейся части, S = 12 = 1 — площадь квадрата,

— площадь «встречи».

Рис. 144. Встреча возможна только внутри шестиугольника (15′ = 0,25 часа).

Число 7/16 чуть-чуть меньше 1/2. То есть ждут всего 15 минут, а вероятность встречи близка к 50%.

Упражнение. А какой будет ответ, если фазовое пространство не квадратное, а прямоугольное (рис. 143, справа)?

Про теорию вероятностей можно говорить очень долго. Это отдельная, очень большая, интересная наука и для школьной программы, и для людей, занимающихся другими науками. В теории вероятностей есть свои проблемы. Например, данные про большой город типа Москвы входят в очень резкий контраст с базовыми предположениями теории вероятностей. Рассмотрим состояние пробок на дорогах. Оно складывается из миллиона случайных решений отдельных людей. Каждый, у кого есть машина, решает, поехать ли на машине или на общественном транспорте, то есть примерно миллион человек одновременно решают задачу, на чем им ехать. И типовое предположение теории вероятностей о том, что выборы людей независимы друг от друга, предсказывает абсолютно одинаковые пробки при одинаковых метеорологических условиях. Если наша теория верна, если решения независимые, то должны быть идентичные дорожные ситуации при одинаковых условиях. Аварии учесть трудно. Но одна, две мелких аварии не сильно влияют на трафик. Математики очень мало знают про транспорт. Но самое главное — есть стойкое ощущение, что эта модель неверна. Люди друг с другом каким-то образом связаны. Они реагируют на фазы Луны, пятна на Солнце или на что-то еще и принимают одинаковые решения. (Например, если их просят назвать известного русского поэта, все как один говорят: Пушкин.) Это — единственное объяснение, почему при абсолютно идентичных условиях бывают диаметрально противоположные по структуре пробки. Сегодня город едет, а завтра — стоит.

Надо признать, что нам не всё известно. Я, на самом деле, считаю, что про социальные науки (социологию, политологию, экономику) нам вообще почти ничего неизвестно. Математики врут, когда говорят, что они разобрались в том, как функционирует социум. Модели примитивные, никогда ничего не предсказывают. Иногда объясняют то, что было вчера.

С географией дела обстоят лучше. Расселение меняется медленно. Редко бывает так: с утра не с той ноги встал и с досады оказался не в Москве, а в Иркутске[36]. Эталоном науки должна быть физика — наука о неживой природе. Она разработана до такой степени, которая никаким инопланетянам, наверное, не снилась. И если с физикой сравнивать науки о социуме, то математический блок социальных наук практически не развит. Поэтому всяким «гуру», которые появляются на «Полит.ру», в «Ведомостях» или прочих изданиях, вообще верить нельзя (в том числе и мне самому!). Они делают прогнозы, а через неделю уже всё по-другому. Я вижу, о каких моделях они говорят, и понимаю, что там обман в каждом слове. А в математике, в лингвистике, в других не социальных науках нет места подвоху.

* * *

Вернемся к комплексным числам. Я хотел рассказать о том, как чудесным образом с помощью комплексных чисел решаются некоторые уравнения. На прошлой лекции мы решили, что хотим иметь такое невещественное число i, что i2 = −1. И каждой точке плоскости сопоставили некоторое комплексное