Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

число: (x, у) → x + уi. Оказывается, эти числа подчиняются привычным математическим действиям: плюс, минус, умножить, разделить. Математики довольно большую часть времени живут в системах, которые называются полями. Поле — это такое обобщение обычных чисел. Это такие системы «чисел», в которых можно совершать операции плюс, минус, умножить и разделить по нормальным обычным правилам. То есть вы пишете какое-то алгебраическое выражение, раскрываете скобки, делите, сокращаете. Всё, что можно сделать с обычными действительными числами, можно сделать и с элементами любого поля. А поля бывают очень разные и иногда совершенно неожиданно выглядят[37].

Мы хотим, чтобы множество комплексных чисел стало полем, то есть чтобы в нём можно было делать всё, что мы привыкли делать с действительными числами, в частности, умножать и делить. И об этом мы сейчас поговорим.

Было доказано, что х + уi = z + ti только в том случае, если имеют место равенства х = z и у = t.

То есть если это просто одна и та же точка на плоскости. А разные точки дают разные комплексные числа, поэтому комплексные числа занимают как минимум всю плоскость. А из стремления к минимализму мы постараемся ограничиться только точками плоскости. Давайте учиться складывать, вычитать, умножать и делить точки плоскости.

Чему будет равна сумма (x + уi) + (z + ti)?

Мы должны получить какое-то комплексное число. Значит, у нас будет часть с i и часть без i. Если отложить часть «без i» по оси абсцисс, а часть «с i» — по оси ординат, то у нас получится какая-то точка на плоскости. Часто комплексное число отождествляют с вектором (т. е. стрелочкой), ведущим из начала координат в эту точку. Из правила сложения векторов получается, что (x + уi) + (z + ti) = (x + z) + i(у + t).

Давайте посмотрим, почему так получается (рис. 145).

Рис. 145. Сложение комплексных чисел.

Точки (х, у) и (z, t) задают нам два вектора на плоскости, выходящие из начала координат. Если сложить два вектора, получится вектор с координатами (х + z, y + t).

В школе это называют правилом параллелограмма.

Сумма двух точек плоскости строится так. Берем векторы, порождаемые нашими точками, и складываем их по правилу параллелограмма.

Вычитание от сложения практически не отличается:

(х + yi) − (z + ti) = (х + yi) + (−z − ti) = (x − z) + i(y − t).

Вектор, порождаемый точкой (z, t), развернется в другую сторону туда, где достроен смежный параллелограмм (рис. 146).

Итак, операции плюс и минус определены и всегда осуществимы. Также видно, что у каждого числа есть противоположное к нему: (х + yi) и (−х − yi). С точки зрения сложения и вычитания система уже построена и ведет себя очевидным образом. Теперь переходим к гораздо более интересной теме. А именно: умножение и деление комплексных чисел.

Рис. 146. Вычитание комплексных чисел.

Я хочу узнать, как должно выглядеть умножение

(x + yi)(z + ti).

Будем пользоваться распределительным законом, который математики называют дистрибутивным. Проще говоря, разрешается раскрывать скобки: а(b + с) = аb + ас (как учили в школе).

А также (a + b)(с + d) = ас + bс + ad + bd.

Правило дистрибутивности вынуждает нас так умножать. Потому что так делается в вещественных числах. Давайте попробуем перемножить два комплексных числа

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti2.

Теперь давайте вспомним, что i2 = −1,

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti2 = xz + xti + zyi − yt = (xz − yt) + (xt + yz)i.

Мы научились умножать. Произведением точек с координатами (х, у), (z, t) служит точка на плоскости с координатами (xz − yt, xt + yz).

Но этого для нас мало, потому что мы не видим, где «живет» на плоскости точка с такими координатами. Мы должны увидеть ее, понять, как ее построить. Как получить ее из векторов, порождаемых точками (x, у), (z, t). Какие у этих векторов характеристики? У них есть длины и углы поворота (отклонения) от оси х. Пользуясь этими данными, мы должны получить новый вектор (xz − yt, xt + yz).

Нам нужно провести некоторое исследование. Для этого разработаем терминологию.

У комплексного числа точки на плоскости первая координата называется вещественной частью, а вторая мнимой. Мнимой ее называют потому, что, когда начинали с комплексными числами общаться, считали, что числа i не существует. Существуют только вещественные числа. Остальные не существуют, они как бы у нас в воображении, imaginary numbers. С тех пор у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.

Рассмотрим еще такую конструкцию. Для каждого вектора рисуется вектор, симметричный относительно вещественной оси. Точка (х; у) перейдет в точку (х, −у) (см. рис. 147).

Рис. 147. Векторы, симметричные относительно оси абсцисс.

Числу х + уi естественным образом сопоставляется число x − yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уi) и (x − yi) называются сопряженными. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x − yi) = х2 + у2.

Что такое х2 + у2 в геометрическом смысле? Это длина вектора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в квадрат. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перемножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х − yi)(z − ti) = (xz − yt) − (xt + yz)i.

Вещественная часть не изменилась, а мнимая поменяла знак. Было (xz − yt, xt + yz), стало (xz − yt, −xt − yz). Получается, что если мы берем произведение двух сопряженных, то получается сопряженное к их произведению (рис. 148).

Рис. 148. Математики сказали бы так: умножение комплексных чисел «уважает» операцию сопряжения, и наоборот. Можно вначале сделать сопряжение каждого сомножителя, а потом перемножить их, а можно вначале перемножить, а после сделать сопряжение перемноженных. Результат будет одинаковым.

Хотелось бы уметь делить одну точку на плоскости на другую точку. Это тоже совсем не сложно, если, конечно, не делить на ноль. Но на ноль мы и раньше не могли делить. Так что ничего удивительного в том, что мы не