Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

что заряд электрона неделим. А если dV – элемент объема в точке r, то |ψ(r)|2 показывает не какая часть электрона находится в этом элементе объема, а только с какой вероятностью электрон как целое может быть обнаружен в этом элементе объема. Я думаю, что, например, термин "вектор состояния" более подходящий, но так сложилось исторически, что используется термин "волновая функция", хотя волна – это классическое состояние, в котором есть много частиц.

Один из физиков, отстаивающих аналогию с классической дифракцией, привел такой аргумент. В момент когда фотон только подлетел к объекту, волновую функцию фотона можно представить в виде ψ=ψ’+ψ” где ψ’– часть волновой функции внутри объекта, а ψ” – ее часть вне объекта. Пусть Ψ – волновая функция объекта. Тогда начальная волновая функция системы объект+фотон равна Ψψ=Ψψ’+Ψψ”. Результат взаимодействия фотона с объектом описывается действием S-матрицы на волновую функцию начального состояния: SΨψ=SΨψ’+SΨψ”. Так как часть ψ” волновой функции не взаимодействует с объектом, то SΨψ”=Ψψ”. С другой стороны, часть ψ’ волновой функции фотона будет обязательно поглощена объектом, и, в результате этого, объект перейдет в некоторое возбужденное состояние Ψ1. Итак, после прохождения волновой функции фотона через объект, волновая функция системы объект+фотон будет Ψ1+Ψψ”. Поэтому, если сработает вероятность, что фотон не поглотится объектом, то волновая функция фотона после прохождения объекта будет ψ”, и не может быть ситуации когда фотон будет зарегистрирован в геометрической тени объекта.

Эти аргументы интересные, но, как будет отмечено ниже, я думаю, что они неправильные. Я предложил этому физику написать совместную статью, в которой он будет отстаивать эти аргументы, а я буду приводить контраргументы, но он отказался и просил не называть его имя. Тогда я попросил его разрешения привести эти аргументы в своей статье с указанием, что аргументы предложены им. Он дал согласие, но просил не упоминать его имя.

Я думаю, что эти аргументы не могут быть правильными из следующих соображений. Во-первых, так как в квантовой теории координаты обязательно имеют какие-то неопределенности, то разложение ψ=ψ’+ψ” не может быть однозначно определено. Но допустим, что оно может быть определено в каком-то приближении. Тогда результат Ψ1+Ψψ” показывает, что фотон всегда провзаимодействует с объектом т.к. нет ситуации когда волновая функция фотона после прохождения объекта осталась бы такой же как и до прохождения объекта. Но только часть ψ’ волновой функции фотона взаимодействует с объектом, а часть ψ” не взаимодействует вовсе.

Пусть ρ’=|| ψ’||2 – норма состояния ψ’, а ρ”=|| ψ”||2 – норма состояния ψ”. В ситуации, которую мы рассматриваем, ρ’<<ρ”, а если волновая функция фотона нормирована на единицу, то ρ’+ρ”=1. Критический момент в этой проблеме такой: если ρ’≠0, то это не значит, что ρ’ часть фотона находится внутри объекта. Как отмечено выше, элементарная частица не имеет частей. В отличие от классического случая, ρ’ имеет смысл не такой, что ρ’ часть фотона находится внутри объекта, а только то, что вероятность ρ’ найти фотон как целое внутри объекта ≠0. Поскольку вероятность того, что фотон провзаимодействует с объектом <=ρ’ то эта вероятность очень маленькая, и с вероятностью >=(1-ρ’)= ρ” фотон вообще не провзаимодействует с объектом. Поэтому конечное состояние системы объект+фотон можно записать не как выше, а как Ψ1+c1Ψψ, где |c1|2 – вероятность того, что фотон не провзаимодействует с объектом. Так как эта вероятность очень близка к единице, то скорее всего, после прохождения объекта у фотона будет такая же волновая функция как и до подхода к объекту. Поэтому проблема, что фотон может быть зарегистрирован за объектом, остается.

Такой вывод также очевиден из квантовой электродинамики. Здесь взаимодействие фотона с частицами описывается фейнмановскими диаграммами, вершины которых содержат только один фотон – входящий или исходящий. На этом языке любой процесс взаимодействия фотона описывается так что, когда входящий фотон поглощается частицей, то в промежуточном виртуальном состоянии фотона нет вообще; он может или полностью поглотиться или родиться из промежуточного состояния заново как целое. Не может быть ситуации, когда часть ψ’ волновой функции фотона взаимодействует, а часть ψ” не взаимодействует.

Итак, для одного фотона аналогия с классической дифракцией не имеет места потому что фотон – элементарная частица и не имеет частей. Как следствие, если мы принимаем, что координатные и волновые функции связаны преобразованием Фурье, то нельзя избежать парадоксов описанных выше. Но, если строить оператор координаты как предложено в моей работе [19], то расплывания нет, волновая функция фотона не имеет космических размеров, фотон движется почти как точечная частица по классической траектории и парадоксов не возникает.

В литературе часто утверждается, что интерференция элементарной частицы на щелях (например, так называемый double slit experiment) является сильным подтверждением квантовой теории и даже приводятся слова Фейнмана, что на примере double slit experiment можно понять почти всю квантовую механику. Но здесь все не так просто. Для объяснения эксперимента часто произносят слова о корпускулярно-волновом дуализме (particle-wave duality). Этот термин, как и волновая функция, тоже пример того, что при создании квантовой теории пытались объяснить квантовые явления на классическом языке и, хотя с тех пор прошло много лет, но термин используется до сих пор. Говорится, что эксперимент Янга (Young’s experiment) подтверждает волновую природу света, а фотоэффект-корпускулярную. Еще говорится, что double slit experiment объясняется дифракцией фотонов. Но, как подробно обсуждено выше, для одного фотона нет аналогии с классической дифракцией. С точки зрения квантовой теории, фотон – частица, вектор состояния которого имеет вероятностную интерпретацию. В отличие от рассмотренного выше парадокса со светом от звезд, в double slit experiment нет ситуации когда ширина волновой функции фотона намного больше размеров объекта. Поэтому здесь взаимодействие фотона с объектом не является маленьким эффектом и простое качественное объяснение не работает.

Естественно, я написал статью о парадоксе со светом от звезд и хотел ее опубликовать. Но журналы обычно сразу отвергали под разными бессмысленными предлогами. Одной из моих попыток был Annals of Physics, а одним из мотивов было то, что Wilczek уже не был редактором этого журнала и я надеялся, что статья будет рассмотрена по существу. В этом журнале была опция послать статью кому-то из редакторов. Я посмотрел список редакторов и увидел, что одним из них был Victor Gurarie, который кончил МФТИ и защитил PhD под руководством Полякова. У меня была надежда, что, по крайней мере, первый факт является положительным. В мое время было впечатление, что дух МФТИ такой, что научные работы надо оценивать только